解法: スミス=マイヤーズ=カプラン=グッドマン=ストラウスによる非周期単一タイル:ハットとスペクター(2023年)

ハットは $[3.4.6.4]$ タイル張りのカイトから作られ、その辺は $1$ と $\sqrt{3}$ という二つの長さを取ることができ(長さ $2$ の辺は長さ $1$ の連続する二辺として数える)、これらの辺は平行な対をなして現れる。二つの長さ $a, b \ge 0$(両方が同時にゼロではない)を独立に変化させると、すべて組合せ的に同一な図形の連続体 $\mathrm{Tile}(a,b)$ が得られる(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2023年, 第2節)。ハットは $\mathrm{Tile}(1, \sqrt{3})$ であり、スミスが独立に発見した二つ目の図形「タートル」($10$ 枚のカイトから成るポリカイト)は同じ族の $\mathrm{Tile}(\sqrt{3}, 1)$ である。

三つの特別なメンバーは、非周期的ではなく単純な周期的タイル張りを許す:「シェブロン」$\mathrm{Tile}(0,1)$($4$ 枚の正三角形から成るテトリアモンド)、「コメット」$\mathrm{Tile}(1,0)$($8$ 枚の正三角形から成るオクティアモンド)、そして正三角形状の $\mathrm{Tile}(1,1)$ である。連続体の他のすべてのメンバー、ハット自身を含めて、非周期単一タイルである。

シェブロンとコメットは単なる余談ではない:任意のハットのタイル張りにおいて一方の長さの辺をすべてゼロに縮約するとシェブロンのタイル張りになり、もう一方の長さを縮約するとコメットのタイル張りになるため、これら二つの周期的な近縁種は次のステップの非周期性の証明で使われる道具となる。