解法: スミス=マイヤーズ=カプラン=グッドマン=ストラウスによる非周期単一タイル:ハットとスペクター(2023年)

Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss(2023年)の第6節と姉妹論文(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2024年、arXiv:2305.17743)は、ハットに残された留保に取り組む:ハットによるあらゆるタイル張りは鏡映されたコピーとされていないコピーを混ぜている(第4節の分類規則は鏡映を明示的に追跡している)ため、ハットが非周期的にタイル張りするのは、タイルの鏡像コピーが「合同」とみなされることが許される場合に限られる——これはタイル張り理論における伝統的な慣習であるが、唯一可能な慣習ではない。

著者らはまず、鏡映が許されれば周期的にタイル張りする連続体の正三角形状のメンバー $\mathrm{Tile}(1,1)$ が、彼らが弱くキラルと呼ぶものになることを観察する:鏡映が単に慣習によって禁じられるならば、それは非周期的なタイル張りのみを許す。規定された規則によってではなく、その幾何学そのものによって図形を非周期的にするために、彼らはその直線の辺を、滑らかな曲線から作られた、一貫した向きを持つ辺——鏡映されていないタイルのコピーだけが辺どうしで出会えるようにする辺——へと摂動させる。スペクターと呼ばれるこの図形の族は、多角形版と滑らかな辺を持つ版の両方を含み、平行移動と回転のみを用いて(鏡映は決して用いずに)$\mathbb{R}^2$ をタイル張りする。鏡映されたコピーは、湾曲した辺に対して物理的にまったく合わないからである。

スペクターのタイル張りの背後にある組合せ論はハットに用いられたのと同じ階層的な代入と結合タイル張りの機構から受け継がれているため、スペクターのタイル張りも依然として非周期的にならざるを得ない。唯一新しい要素は、鏡像を排除する幾何学的な工夫である。これにより、スペクターは初の厳密にキラルな非周期単一タイルとなり、「アインシュタイン問題」に最も強い意味で決着をつけた:単一の形状であり、鏡映は不要で、その輪郭以外にいかなる対応規則も必要としない。