解法: スミス=マイヤーズ=カプラン=グッドマン=ストラウスによる非周期単一タイル:ハットとスペクター(2023年)
今度は分類の手法をもう一段上でもう一度使ってみよう:メタタイル 自体を、これまでと同じような規則を使ってスーパータイルと呼ばれるより大きなクラスターにグループ化する。すると、これらのスーパータイルは、メタタイルがハットから作られたのとまったく同じ組合せパターンでメタタイルから作られていることが分かる——そのため、同じグループ化の手法をスーパータイルに再び適用でき、さらにそれを永遠に繰り返せる。決して入れ子をやめないロシアの入れ子人形のようなものである。
どのレベルにおいても、すべてのタイルはこの終わりのない階層の中でただ一つのスーパータイルに属することになる。もしあるタイル張りが滑らせることで自分自身を繰り返したなら、十分大きなパッチはその滑らせたコピーと重ならなければならなくなる——しかしそうすると、あるタイルが二つの異なるスーパータイルの階層に同時に属することになり、これは階層の一意性によって禁じられている。したがってこのタイル張りは決して繰り返すことができず——おまけとして——この入れ子構造そのものが、任意に大きな、ハットによる有効なタイル張りを実際に構築するための手順にもなっている。
同じ種類の強制的な場合分けをもう一段上で適用して、Smith, Myers, Kaplan と Goodman-Strauss(2023年、第5節、定理5.1)は、4種のメタタイルによるあらゆるタイル張りにおいて、メタタイルが(境界の管理をすっきりさせるための と タイルの技術的な二分割の後)、元のメタタイル と組合せ的に同値な、より大きなレベルのスーパータイル に組み合わさることを示す:対応規則も隣接構造も同じで、ただより大きな尺度で構成されているだけである。
レベルのスーパータイルがメタタイルと同じ組合せ構造を持つため、同じ代入を繰り返すことができる:レベルのスーパータイルは一意にレベルのスーパータイルへとグループ化され、レベルはレベルへと、際限なく続いていく。これはロバート・バーガーの1966年の元々の非周期タイル集合の構成が切り開いたスタイルである。重要なのは、この階層が一意であるということだ:すべてのメタタイルはちょうど一つのレベルのスーパータイルに属し、それがちょうど一つのレベルのスーパータイルに属し、以下同様である。
階層の一意性こそが非周期性を強制する:もしタイル張りが並進対称性を持つならば、十分大きな に対してレベルのスーパータイルがその並進された像と重なることになり、その重なりの中のどのメタタイルも二つの異なる無限階層に同時に属することになる——これは一意性と矛盾する。矛盾のためではなく順方向に用いれば、同じ構成は、任意に大きなサイズのメタタイル(したがってハット)のクラスターが存在することも証明し、これはまさにハットがそもそも平面のタイル張りを許すと結論するために必要なことである——前節の周期性の不可能性の議論と合わせて、ハットが真に非周期単一タイルであることの証明が完成する。