解法: ヒッチンファイブレーションと幾何学的台定理によるNgôの証明(2008年)

基本補題は、一般の簡約群に対してArthur–Selberg跡公式を安定化するための最後の大きな障害であった:これを手にすることで、$G$ に対する跡公式の幾何学的な辺は、$G$ とその内視群 $H$ 上の安定分布の和として書き直すことができ、これはまさに1980年代初頭からLanglandsとShelstadの内視理論プログラムが予言していた通りである(Hales 2011, §7)。

James Arthurは直ちに安定化された跡公式を用いて、$\mathrm{Sp}(2n)$ や $\mathrm{SO}(n)$ のような古典群の離散保型スペクトルを $\mathrm{GL}(n)$ のそれによって分類する仕事を完成させ、2013年に研究モノグラフとして出版した。基本補題はLanglandsプログラム全体のその後の進展の土台ともなっている。

この業績によりNgô Bảo Châuは2010年にフィールズ賞を受賞した。純粋に局所的な $p$ 進の問いを、ヒッチンファイブレーションの大域的な幾何学を通して行き来させたこの証明は、今日に至るまで代数幾何を数論に応用した最も深い例の一つとして広く評価されている。