解法: ヒッチンファイブレーションと幾何学的台定理によるNgôの証明(2008年)
ざっくり言うと
先験的には、分解定理からの構成要素のいくつかは、パラメータ空間 の小さな例外的な部分——たとえば繊維が異常に特異な点の上だけ——に集中している可能性がある。Ngôの台定理はこれを排除する:関連するすべての断片が 全体に広がっており、可能な限り大きく均一である。
直感的には、この族は特別な隅に余分な位相を「隠す」ことができない。一般的な場合に起こることは、正確に制御された意味で、どこでも起こるのである。
詳しい解説
Ngôの台定理(2010、定理6.4、古典群に対するGoresky、Kottwitz、MacPhersonの部分的な結果に基づく)は、分解定理からの非零な偏屈な項の台が の真の閉部分多様体になり得ないことを示す:各項の台は満次元の成分の和集合でなければならない。証明は、可能な台に対する次元評価——判別式に対する「-正則性」評価、ある軌跡上の一般繊維がどれほど特異かをおおまかに測るもの——と、ヒッチンモジュライ空間上の豊富類とハード・レフシェッツ定理を用いた大域的な議論を組み合わせる。
これはNgôの論文における単一の最も深い新しい幾何学的な入力である。これによってヒッチンファイブレーションのコホモロジーが、単に上から評価するのではなく、 側と 側を比較するのに十分なほど正確に定まる。
台が至る所であると定まったことで、ファイブレーションのコホモロジーは、繊維が本物のアフィン・スプリンガー・ファイバーである稠密な開軌跡上で、まさにステップ3の対象によって決定される。
- 台定理
- Ngôによる2010年の定理で、ヒッチンファイブレーションの押し出しの分解に現れるすべての偏屈な項が(満次元の断片を除いて)パラメータ空間 全体に台を持ち、より小さな部分多様体に隠れた寄与を排除すると主張する。
- -正則性
- の中心化群がどれほど特異かを記録する判別式が、ヒッチン底空間 上でどう増大するかを測る技術的条件で、可能な台の次元を評価するために使われる。