解法: ヒッチンファイブレーションと幾何学的台定理によるNgôの証明(2008年)

Ngôは内視群 $H$ に対しても同じ分解と台の解析を実行する。そのパラメータ空間 $A_H$ は、$H$ のルートデータを $G$ のそれに埋め込むことを通じて自然に $A$ へと写る。Weil予想の証明から得られるDeligneの純粋性定理は、両方のファイブレーションのコホモロジーに現れるフロベニウスの重みを評価し、台定理と組み合わせると、一般的な $a$ 上での $G$-繊維と移された $H$-繊維の点の数が、有界な誤差の範囲でではなく、正確に一致することを強制する(Ngô 2010, §7–8; Hales 2011, §6)。

質量に対する積公式——大域的な数え上げは曲線の各場所ごとの局所アフィン・スプリンガー・ファイバーの数え上げの積に分解され、$\gamma$ がそこで不分岐であるほとんどすべての場所で自明に等しい——により、この大域的な等式は残りのすべての場所で個々の局所項が一致することを強制する。これはまさにLanglandsとShelstadが予想した $\kappa$ 重み付き軌道積分の等式であり、今や正標数の局所体上の任意の簡約群のリー環に対して確立された。

これがNgôの論文のクライマックスである:二つの多様体の族のコホモロジーを一致させるという大域的で幾何学的な主張が、ステップ1の局所的で数論的な主張へと翻訳し戻されたのである。