解法: ヒッチンファイブレーションと幾何学的台定理によるNgôの証明(2008年)

Waldspurgerは1990年代に、簡約群 $G$ に対する基本補題が、そのリー環 $\mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(G)$ に対する対応する主張から形式的に従うことを証明した:単位元付近の $G$ 上の軌道積分は、項ごとに $\mathfrak{g}$ 上の軌道積分と対応付けられる(Hales 2011, §1; Waldspurger 1997)。これは真の単純化である。なぜなら $\mathfrak{g}$ はベクトル空間であり、その幾何(中心化群、判別式)は群の乗法ではなく通常の多項式代数によって支配されるからである。

Waldspurgerはまた、「近い」局所体を比較することで、リー環の主張を $p$ 進数 $\mathbb{Q}_p$ 上で直接証明する代わりに、$\mathbb{F}_q((t))$ のような正の等標数の局所体上で証明すれば十分であることを示した。10年後、Raf Cluckers、Thomas Hales、François Loeserはモチーフ積分のモデル理論を用いて、本質的に同じ転送のより柔軟な独立の証明を与え、これは証明の最後に必要な $\kappa$ 重み付き版や群版も扱う。

この二つの帰着こそが、Ngô Bảo Châuが有限体上定義された曲線上の代数幾何を用いて基本補題を攻略することを可能にしたものである:これ以降のすべては、正の等標数におけるリー環に対して行われる。