解法: ヒッチンファイブレーションと幾何学的台定理によるNgôの証明(2008年)
ざっくり言うと
上の軌道積分は具体的な幾何学的意味を持つことがわかる:それは、 を作用させても位置が変わらない格子——空間の格子状の部分格子——を(適切な重み付けで)数える。そのような不変格子全体からなる空間は のアフィン・スプリンガー・ファイバーと呼ばれる。
これにより、難しい解析的積分が具体的な幾何学的対象上の数え上げ問題として再解釈され、まさに代数幾何が答えるために作られた種類の問いになる。
詳しい解説
上で、適切なコンパクト開テスト関数に対する軌道積分は、標準的な正規化と切断の後、アフィン・スプリンガー・ファイバー の 点数と関係する。完全なアフィン・スプリンガー・ファイバーは一般に ind-scheme であり、グロタンディーク–ルフェシェッツ跡公式に入るのは有限次元切断または適切な商のコホモロジーである。これにより局所積分はコホモロジーの数え上げ問題になる。
- アフィン・スプリンガー・ファイバー
- 上のベクトル空間の中で、与えられた元 によって安定化される格子をパラメータ付けする有限次元代数多様体。KazhdanとLusztigが軌道積分を幾何学的に研究するために導入した。