解法: ヒッチンファイブレーションと幾何学的台定理によるNgôの証明(2008年)

Ngôの鍵となる着想は大域的である:射影曲線 $X$ 上の $G$-ヒッグス束のモジュライ空間は、アフィン空間 $A$ へのヒッチン写像 $f: M \to A$(ヒッグス場の特性多項式から作られるヒッチンファイブレーション)を持ち、Weil予想により、$a \in A$ 上の繊維の点をGrothendieck–Lefschetz跡公式で数えることは、対応する元 $\gamma_a$ における局所軌道積分の積に等しく、これは $X$ のすべての場所にわたって同時に取られる(Ngô 2010, §4; Hales 2011, §5)。

ステップ3の局所体 $\mathbb{F}_q((t))$ は文字通りそのような曲線上のある点における完備局所環であるため、ヒッチン繊維のコホモロジーは場所ごとに、まさにすでに述べたアフィン・スプリンガー・ファイバーへと分解される——これは大域的な数え上げを局所的なものに結びつける「質量に対する積公式」である。

こうして基本補題——純粋に局所的な主張——は、$\mathbb{F}_q$ 上の単一の高度に構造化された代数多様体の大域的な族のコホモロジーに関する問題となる。