解法: 補助関数によるゲルフォント・シュナイダーの超越性証明(1934年)

1900年の講演 Mathematische Probleme で、ヒルベルトは二十三の問題の第七として、$\alpha$ が $\alpha\notin\{0,1\}$ を満たす代数的数で $\beta$ が代数的無理数のとき $\alpha^\beta$ は必ず超越数かと問うた。ここで $\alpha^\beta$ は対数の選んだ分枝に対する $e^{\beta\log\alpha}$ の一つの定まった値を意味し、異なる分枝は $e^{2\pi i\beta}$ の冪だけ違い、それらが超越数であることはこの定理自身が示す。ヒルベルトは $2^{\sqrt{2}}$ と $e^\pi=(-1)^{-i}$ を例として挙げ、この問題はリーマン予想より長く残るだろうと予想した。

部分的な進展は早かった。Kuzmin(1930)は Gelfond の1929年の方法($e^\pi$ の超越性をすでに証明していた)を連分数で精密化し、実二次の $\beta$ を扱った。一般の場合は1934年に Gelfond と、独立に Schneider によって解かれ、Schneider の変形は後に Siegel によってここで用いる形に再構成された。この形では、Gelfond のもとの行列式で作った一つの関数ではなく、二つの整函数を用いる。メタデータに記された出典は Gelfond の1934年の論文 Sur le septième problème de Hilbert である。

議論は定量化された背理法で、今や超越数論全体の雛形である。$\gamma=\alpha^\beta$ が代数的と仮定し、数体 $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma)$ を作る。$e^z$ と $e^{\beta z}$ から構成される非零の整函数 $\Phi$ を作り、値が $K$ に属する点 $j\log\alpha$ で高い位数 $L$ まで消えるようにする。すると最初の非零導函数 $\Phi^{(s)}(0)$ は $K$ の非零元であり、複素解析(イェンゼンの公式)はそれを上から $e^{-cL\log L}$ で抑え、代数的整数論(共役にわたる積公式)は下から $e^{-CL}$ で抑える。$L\log L$ は $CL$ を凌駕するので二つの評価は衝突し、$\gamma$ は超越数でなければならない。