解法: 補助関数によるゲルフォント・シュナイダーの超越性証明(1934年)

1900年の講演『Mathematische Probleme』において、Hilbert は第七問題として、$\alpha$ が代数的数で $\alpha\ne0,1$ であり、$\beta$ が代数的だが無理数であるとき $\alpha^\beta$ が常に超越数であるかを問うた。ここで $\alpha^\beta$ は、対数の選び方に応じた $e^{\beta\log\alpha}$ の任意の固定値を意味する。Hilbert は $2^{\sqrt{2}}$ と $e^\pi=(-1)^{-i}$ を具体的な試験例として挙げている。

この問いは代数(どの数が多項式方程式を満たすか)と解析(指数関数の性質)の交差点に位置し、30年以上にわたりあらゆる試みに抵抗した。Gelfond は1929年に特殊な場合である $e^\pi$ の超越性を証明し、1934年には Gelfond と Schneider の両者が——独立に、やや異なる補助関数を用いて——完全な主張を証明した。これが今日ゲルフォント・シュナイダーの定理と呼ばれるものである。

この証明戦略は、それ以来超越数論の標準となったもので、背理法である:$\gamma=\alpha^\beta$ が代数的であると仮定し、$\alpha,\beta,\gamma$ を用いて多くの点で極めて小さくなることを強制される補助関数を構成し、それが非零の代数的数は任意に小さくなり得ないという一般的な事実と矛盾することを示す。残りのステップは、Yum-Tong Siu(ハーバード大学、Math 113講義ノート)と Serge Lang の古典的な教科書での扱いに沿ってこの道筋をたどる。