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解法: 補助関数によるゲルフォント・シュナイダーの超越性証明(1934年)

ステップ 7/7: 矛盾が閉じる:αβ\alpha^\beta は超越数でなければならない
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ざっくり言うと

今、罠が閉じる。ステップ5は数 Φ(s)(0)\Phi^{(s)}(0) が(絶対値として)おおよそ e−cLlog⁡Le^{-cL\log L} より小さくなければならないことを示した。ステップ6は、まさに同じ数が、非零の代数的数であるため、おおよそ e−CLe^{-CL} より小さくなり得ないことを示した。Llog⁡LL\log L は LL のどんな固定倍数よりも速く増大するため、LL が十分大きければこの二つの要求は真っ向から矛盾する:その数は急速に縮小する上界より小さくなければならず、同時により緩やかに縮小する下界より大きくなければならない。

唯一の逃げ道は、仮定のどれかが偽であったということである——そして構成の他のすべて(Siegel の補題、増大度の評価、代数的整数論)は完全に厳密であり、未証明の仮説を一切用いていない。残る唯一の仮定は、まさに最初に置いたもの、すなわち γ=αβ\gamma=\alpha^\beta が代数的であるという仮定である。したがってその仮定が誤りでなければならず、結局 αβ\alpha^\beta は超越数である。

−cLlog⁡L≥log⁡∣Φ(s)(0)∣≥−CL  ⟹  contradiction for L≫1-cL\log L \ge \log|\Phi^{(s)}(0)| \ge -C L \implies \text{contradiction for } L \gg 1
詳しい解説

ステップ5は明示的な定数 c>0c>0 に対して log⁡∣Φ(s)(0)∣≤−cLlog⁡L+O(L)\log|\Phi^{(s)}(0)|\le-cL\log L+O(L) を確立し、ステップ6は明示的な定数 C2C_2 に対して log⁡∣Φ(s)(0)∣≥−C2L\log|\Phi^{(s)}(0)|\ge-C_2L を確立した。両方の上界は同時に成り立つ(これらはまさに同じ非零の数 Φ(s)(0)∈K\Phi^{(s)}(0)\in K に関する評価である)ため、十分大きなすべての LL に対して −C2L≤log⁡∣Φ(s)(0)∣≤−cLlog⁡L+O(L)-C_2L\le\log|\Phi^{(s)}(0)|\le-cL\log L+O(L)、すなわち −C2L≤−cLlog⁡L+O(L)-C_2L\le-cL\log L+O(L) が成り立つ。LL で割って L→∞L\to\infty とすると、右辺は −∞-\infty に向かうのに対し左辺は有界にとどまる——c,C2,[K:Q]c,C_2,[K:\mathbb{Q}] にのみ依存するある明示的な閾値より大きな LL に対して真っ向からの矛盾である(Siu、主定理の証明の最終段落、一般的な主張における類似の上界「m≤C7ρ[K:Q]m\le C_7\rho[K:\mathbb{Q}]」で締めくくられる)。

構成のすべてのステップ——Siegel の補題(ステップ3)、ez,eβze^z,e^{\beta z} の代数的独立性(ステップ2)、有限位数の整関数に対する増大度評価(ステップ5–6)、代数的数に対する共役にわたる積の評価(ステップ6)——はすべて無条件の古典的数学である。導入された唯一の仮説は、ステップ2で置いた γ=αβ\gamma=\alpha^\beta が代数的であるという仮定である。その仮説は矛盾に至るため、偽でなければならない:任意の代数的数 α∉{0,1}\alpha\notin\{0,1\} と任意の代数的無理数 β\beta に対して αβ\alpha^\beta は超越数である——これがゲルフォント・シュナイダーの定理であり、ヒルベルトの第七問題を解決するものである(Gelfond、1934年;Schneider、1934年、独立に)。

直接の系として(Siu、「系2」)、Hilbert の例である 222^{\sqrt{2}} は超越数である。α=2\alpha=2 は代数的数(00 でも 11 でもない)であり、β=2\beta=\sqrt2 は代数的無理数だからである。同様に γ=(−1)−i=eπ\gamma=(-1)^{-i}=e^\pi も超越数であり、これは Gelfond による以前の1929年の特殊な場合を回復するものであるが、eπe^\pi の超越性を形式的に確立するには α=−1\alpha=-1(単数根)と、わずかに調整された仮定を伴う β=i−1\beta=i\sqrt{-1} 型の議論を用い、両方とも一般的なゲルフォント・シュナイダーの機構によって扱われる。