解法: 交差族によるMarcus–Spielman–Srivastavaの証明(2013年)

カディソンとシンガー(1959年)は、$B(\ell^2)$ の対角極大可換部分環(masa)上のすべての純粋状態が、$B(\ell^2)$ 全体上の純粋状態へ一意に拡張されるかを問うた。これは作用素環論における問いであり、「制限された」測定が完全な量子力学的観測量についてどれだけの情報を決定するかに関わるもので、何十年も証明も反証もされなかった。

Nik Weaver(2004年)は、Kadison–Singer問題が有限次元的な命題の族と論理的に同値であることを示した。その中で最も強いものが $KS_2$ と呼ばれる:有限次元空間 $\mathbb{C}^d$ 内の任意のベクトルの集まり $v_1,\ldots,v_m$ が単位元に和する、$\sum_i v_iv_i^*=I_d$ とし、各ベクトルが短い、$\|v_i\|^2\le\delta$ とすると、添字集合を常に二つの部分 $S_1,S_2$ に分割でき、部分和 $\sum_{i\in S_j}v_iv_i^*$ が完全な単位元から離れているようにできる。Marcus、Spielman、Srivastava(2013年、2015年にAnnals of Mathematicsに掲載)は、まさにこの $KS_2$ を証明することを目指した。

この帰着こそが問題を扱いやすくする。無限次元作用素環や超フィルターのような非構成的な対象について論じる代わりに、問い全体が有限個の行列を分割するという具体的で検証可能な主張になる—これが本証明の残りの部分で扱う対象である。