解法: 交差族によるMarcus–Spielman–Srivastavaの証明(2013年)

Weaver(2004年)は、$KS_2$ がAkemannとAnderson(1991年)の射影敷き詰め予想のある形を導くことを証明し、それは(Casazza、Fickus、Tremain、Weberによる2006年の概説論文「数学と工学におけるKadison–Singer問題」にまとめられた研究を通じて)Kadison–Singer問題そのものの肯定的解決を導くことが既に知られていた:$B(\ell^2)$ の対角masa上のすべての純粋状態は、$B(\ell^2)$ 上の一意な純粋状態へ拡張される。$KS_2$ が今やMarcus、Spielman、Srivastavaによって無条件に証明されたことで、この五十四年にわたる連鎖全体が閉じる。

副産物として、同じ交差族の機構は、Marcus、Spielman、Srivastavaの定理1.5、すなわち対角成分が零である任意のエルミート行列に対する明示的で定量的な敷き詰め評価を与え、1980年代から研究されてきたBourgain–Tzafriri予想の有限次元版を独立に解決する。これはフレーム理論や信号処理における問題(Kadison–Singer問題の応用としてCasazzaとTremainが記した内容)と密接に関わる。

この証明の前段階が既に警告していたように、2013年の論文は、何十年にもわたり多くの数学者が組み立ててきた長い帰着の連鎖の最後の一環であり—Marcus、Spielman、Srivastavaの真の貢献は、最も困難な残された環である $KS_2$ そのものをついに解いた交差族の技術である。