解法: 同変安定ホモトピー論によるHill–Hopkins–Ravenelの証明(2009年)

HHRは、真に新しい乗法的コホモロジー論 $\Omega$(§1.2–1.3, arXiv:0908.3724)を構成する。これはAtiyahの $C_2$ 同変Real $K$-理論に倣ったものであるが、代わりに $C_2$ 同変複素コボルディズム $MU_{\mathbb{R}}$(LandweberとFujiiのRealボルディズムスペクトル)から構成され、$\Omega$ がその $C_8$ ホモトピー固定点として定義される、正真正銘同変なスペクトル $\Omega_{\mathbb{O}}$ を伴う。

検出定理(定理1.6)は、$\theta_j \in \pi_{2^{j+1}-2}S^0$ が存在するならば($j>2$ に対し)、単位写像 $S^0 \to \Omega$ のもとでのその像が群 $\Omega^{2-2^{j+1}}(\mathrm{pt})$ の中で非零であることを述べる——これにより $\theta_j$ の位相的な存在問題が、$\Omega$ の内部での代数的な非消滅問題へと変わる。

残りのステップでは、周期性と隙間という二つの付随する事実を証明するのに十分正確に $\Omega$ を構成する。これらは検出定理と組み合わさって、$j\ge 7$ になった途端にその代数的な群を消滅させる。