解法: 同変安定ホモトピー論によるHill–Hopkins–Ravenelの証明(2009年)

古典的なBott周期性クラスの同変な精密化から作られるクラス $D: S^{\ell\rho_8} \to MU^{((C_8))}$ を可逆にすると、$C_8$ スペクトル $\Omega_{\mathbb{O}} = D^{-1}MU^{((C_8))}$ が得られる;$\Omega$ はその $C_8$ ホモトピー固定点スペクトルとして定義される。

$\Omega_{\mathbb{O}}$ に対する $RO(C_8)$ 次数付きスライススペクトル系列における直接計算(§9、$\Omega_{\mathbb{O}}$ が同変可換環スペクトルであることを用いる)は、任意の $X$ に対して $\Omega^*(X) \approx \Omega^{*+256}(X)$ であることを示す——周期性定理(定理1.7)。

別法として、一般的なべき零性の技術による議論は、正確な数を確定することなく $\pi_*\Omega$ が $2$ のべき乗のある周期で周期的であることを示す;明示的なスライススペクトル系列の計算は、周期をちょうど $256$ に、隙間定理の幅と一致するように確定するためにのみ必要である。