解法: 同変安定ホモトピー論によるHill–Hopkins–Ravenelの証明(2009年)

セル補題(補題1.14)は、$G = C_{2^n}$ と任意のスライスセル $\widehat S$ に対して、同変ホモトピー群 $\pi_k^G H\underline{\mathbb{Z}} \wedge \widehat S$ が $-4 < k < 0$ で消滅することを計算する;これは、軌道空間 $S^{m\rho_G}/G$ が連結空間の懸垂であることから単連結であるという初等的な事実に帰着する。

セル補題と、スライス定理による $MU^{((C_8))}$(したがって $\Omega_{\mathbb{O}}$)のスライスの明示的な記述とを組み合わせ、HHRは $C_8$ 固定点ホモトピー群 $\pi_i^{C_8}\Omega_{\mathbb{O}}$ が $-4<i<0$ で消滅することを示す。

後のステップのホモトピー固定点定理は、これらの群を $\pi_i \Omega$ 自身と同定し、隙間定理を与える:$0<i<4$ で $\Omega^i(\mathrm{pt}) = 0$——これがまさに最終組み立てステップが必要とする消滅範囲である。