解法: 同変安定ホモトピー論によるHill–Hopkins–Ravenelの証明(2009年)

Browderの帰着(ステップ1)と、たった今証明した非存在定理(ステップ8)を組み合わせると:Kervaire不変量が $1$ である枠付き多様体は、$j\le 6$ に対する次元 $n = 2^{j+1}-2$、すなわち $n \in \{2,6,14,30,62,126\}$ にのみ存在し、以前の明示的構成(ステップ2)によりそのうちの最初の5つには実際に存在する;$n=126$($j=6$)のみがHill–Hopkins–Ravenel自身の方法では未決定のまま残された。

これにより、この六元の例外集合の外側にあるすべての次元について、Browderの研究に結びついたいくつかの古典的な微分位相幾何学の問いが解決される:どの枠付き多様体がホモトピー球面に枠付きコボルダントであるか、Kervaire多様体がいつ滑らかな構造を許すか、そしてWhitehead平方がいつ $2$ で割り切れるか(Kervaire–Milnor 1963年;Browder 1969年)。

2024年12月、Weinan Lin、Guozhen Wang、Zhouli Xuは(まだ査読を経ていない)プレプリントを発表し、関連するAdams $E_2$ ページの計算機支援計算を報告し、$h_6^2$ が実際には永続サイクルであり、したがって $\theta_6$ が結局存在すると論じた——その計算の検証を条件として、残る一つの場合に決着をつけた。