解法: 同変安定ホモトピー論によるHill–Hopkins–Ravenelの証明(2009年)

ホモトピー固定点定理(定理1.10)は、$\Omega_{\mathbb{O}}$ の正真正銘の固定点スペクトルからそのホモトピー固定点スペクトルへの自然な写像が弱同値であることを証明し、したがってすべての $n$ について $\pi_n^{C_8}\Omega_{\mathbb{O}} \cong \pi_n \Omega$ となる——これにより、隙間定理による正真正銘の $C_8$ 固定点の計算を $\Omega$ 自身についての言明として読み替えることができる。

周期性定理と隙間定理を合わせると、$i \equiv 2 \pmod{256}$ であるときはいつでも $\Omega^i(\mathrm{pt}) = 0$ となる;$j\ge 7$ に対する次元 $2^{j+1}-2$ は周期によって変換するとまさにこの合同式を満たすため、検出定理が対象とする群 $\Omega^{2-2^{j+1}}(\mathrm{pt})$ はすべての $j\ge 7$ に対してゼロである。

もしそのような $j$ に対して $\theta_j$ が存在したなら、検出定理はその群の中でのHurewicz像が非零であることを強いる——矛盾である。したがって $\theta_j$ はいかなる $j\ge 7$ に対しても存在せず、これは定理1.1(Hill–Hopkins–Ravenel、2009/2016年)を証明し、ステップ1のBrowderの帰着を通じて、Kervaire不変量が $1$ である枠付き多様体が六つの次元 $2,6,14,30,62,126$ にのみ存在しうることを証明する。