解法: 同変安定ホモトピー論によるHill–Hopkins–Ravenelの証明(2009年)

HHRの重要な新構成(§2.2.3、「乗法的ノルム関手」)は、$MU_{\mathbb{R}}$ のような $C_2$ スペクトルから、同変スマッシュ冪構成によって、正真正銘 $C_{2^k}$ 同変な可換環スペクトルを構成する;4重冪を作るように適用すると、$C_8$ が4つの因子を巡回的に置換し、一周につき1回 $C_2$ 作用(複素共役)を適用するように作用する $MU^{((C_8))} = MU_{\mathbb{R}} \wedge MU_{\mathbb{R}} \wedge MU_{\mathbb{R}} \wedge MU_{\mathbb{R}}$ が得られる。

ごく大まかに言えば、$MU^{((C_8))}$ は、部分群 $C_2\subset C_8$ への制限がReal構造を回復するような $C_8$ 作用を備えた安定概複素多様体のコボルディズム論と考えることができる——これは $MU_{\mathbb{R}}$ 自身が $C_2$ 同変な(「Real」)多様体を分類する仕方の、直接的な $C_8$ 版である。

この $C_8$ 同変スペクトルと、Bott周期性の同変な精密化から作られる付随する周期性クラス $D$ が、$\Omega_{\mathbb{O}}$——ひいては前のステップの検出理論 $\Omega$——が組み立てられるまさにその生の素材である。