解法: 同変安定ホモトピー論によるHill–Hopkins–Ravenelの証明(2009年)

スライス濾過(§4)は、任意の同変スペクトル $X$ に対して、次元が $n$ より大きいセルからのすべての写像を消すセルを付加することで構成される、「スライス切片」$P^n X$ のタワーを対応させる;その層 $P_n^n X$(「スライス」)は $\pi_* X$ を計算するスライススペクトル系列へと組み立てられる。

スライス定理(定理1.13、§6–7の帰着定理を通じて証明される)は $MU^{((C_8))}$ のスライスを明示的に同定する:$P_n^n MU^{((C_8))}$ は、同変Eilenberg–Mac Laneスペクトル $H\underline{\mathbb{Z}}$(定数Mackey関手 $\underline{\mathbb{Z}}$ に対する)のコピーの、誘導表現球面から作られる次元 $n$ の特定の「スライスセル」とのスマッシュ積のウェッジである。

すべてのスライスがこのように明示的であるため、$MU^{((C_8))}$(そしてさらなる作業の後には検出理論 $\Omega$)に対するスライススペクトル系列は具体的で計算可能な対象となる——これが次のステップの隙間定理と周期性定理の両方の基礎である。