解法: 対称冪の潜在的保型性によるサトー・テイト予想の証明(2011年)

Taylor–Wiles法は、$\ell$ 進ガロア表現 $\rho$ が保型的であることを、固定された剰余表現 $\bar\rho = \rho \bmod \ell$ のすべてのリフトをパラメータ付けする変形環と、保型形式に作用するHecke環とを比較すること($R = \mathbb{T}$ 定理)によって証明する。剰余表現 $\bar\rho$ がすでに保型的であることが知られ「大きな像」を持つとき、この方法は適切なリフト $\rho$ もすべて保型的であることを示す。

Clozel、Harris、Taylor(Publ. Math. IHÉS 108, 2008)は、このTaylor–Wiles–Kisin法を $\mathrm{GL}(2)$ から $n$ 次元ガロア表現へと一般化し、基底変換によって $\mathrm{GL}(n)$ へ移されるユニタリ群上の保型形式を扱った。この保型性リフト定理は、以降のすべてのステップを支える本質的な技術的エンジンである。

残る障害は、リフトのプロセスを始めるには、まずすでに保型的であることが知られている剰余表現 $\bar\rho$ が必要だということである——そして任意の楕円曲線 $E$ に対して、$\mathrm{Sym}^n E$ に対するそのような出発点が明らかに存在するわけではない。それを作り出すことが次のステップの仕事である。