解法: 対称冪の潜在的保型性によるサトー・テイト予想の証明(2011年)

Weylの均等分布判定法により、角の列 $\theta_p$ が $[0,\pi]$ 上の測度 $\mu$ に関して均等分布するのは、すべての $n \ge 1$ について、チェビシェフ型関数 $U_n(\cos\theta_p)$(本質的に $\sum_{j} e^{i(n-2j)\theta_p}$)の平均が $0$ に近づく場合に限る。これらの平均は、対称冪 $L$ 関数 $L(\mathrm{Sym}^n E, s) = \prod_p \prod_{j=0}^{n} \left(1 - e^{i(n-2j)\theta_p} p^{-s}\right)^{-1}$ を制御する係数そのものである。

Serreは1968年、すべての対称冪 $L$ 関数がすべての $n \ge 1$ に対し $\mathrm{Re}(s) \ge 1$ 上で正則かつ消えない関数へ拡張できれば、角 $\theta_p$ がサトー・テイト測度に従って均等分布することを示した。これにより解析的整数論における均等分布の問題が、無限個の $L$ 関数の族の解析的な振る舞いについてのラングランズ・プログラムの問題へと帰着された。

残っているのはそれらの解析的性質を証明することであり、取られた道筋は各 $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ が保型的であることを示すこと——はるかに強い構造的な主張であり、次のステップの主題である。