解法: 対称冪の潜在的保型性によるサトー・テイト予想の証明(2011年)

Taylor(2008年、Publ. Math. IHÉSとAnnals of MathでCHTを拡張する2本の論文)は、ある素数で乗法的還元を持つ非CM楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ に対して、$\mathrm{Sym}^n E$ がすべての $n \ge 1$ に対して潜在的保型的であることを証明した。ステップ2–3と合わせて、これはこの限定された(しかしよくある)曲線のクラスに対してすでにサトー・テイト予想を与えた——予想のいかなる場合についても初めての証明であった。

Barnet-Lamb、Geraghty、Harris、Taylor(2011年、Publ. Math. RIMS、『A family of Calabi–Yau varieties and potential automorphy II』)は、その後、あらゆる場合に必要な剰余保型性を供給するのに十分頑健な、改良されたカラビ・ヤウ多様体の族を構築し、保型性リフト定理を洗練させて乗法的還元の仮定を完全に取り除き、すべての非CM楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ とすべての $n \ge 1$ に対して $\mathrm{Sym}^n E$ の潜在的保型性を証明した。

潜在的保型性が今や無条件になったので、残るはステップ3で開かれた輪を閉じるべく、得られた解析的性質を補助体 $F$ から $\mathbb{Q}$ へと引き戻すことだけである。