解法: 対称冪の潜在的保型性によるサトー・テイト予想の証明(2011年)

$\mathbb{Q}$ 上の $\mathrm{GL}(n+1)$ の保型表現 $\pi$ とは、おおまかに言えば古典的なモジュラー形式の高階数への一般化であり、オイラー積から作られる独自の $L$ 関数 $L(\pi, s)$ を持つ。Godement–Jacquetの有理型接続、およびRankin–Selberg積分とJacquet、Shalika、Shahidiの結果による $\mathrm{Re}(s) = 1$ 上での非消滅という深い一般定理は、すでに任意の保型的な $\pi$ に対して、Serreの判定法(ステップ2)が要求するまさにその正則接続と $\mathrm{Re}(s) = 1$ 上での非消滅を確立している。

したがってサトー・テイト予想の残りの困難のすべてが、純粋に表現論的な単一の問いに集約される:対称冪 $L$ 関数 $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ は、すべての $n \ge 1$ に対して、実際に $\mathrm{GL}(n+1)$ の保型表現の $L$ 関数なのか?

この問い——$\mathrm{Sym}^n E$ の保型性——こそが、Clozel、Harris、Shepherd-Barron、Taylor、そして後にBarnet-Lamb、Geraghty、Harris、Taylorが、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明のために構築された機構を用いて答えようとしたものである。