解法: 対称冪の潜在的保型性によるサトー・テイト予想の証明(2011年)

ステップ1–7をまとめると:すべての非CM楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ に対して、対称冪 $L$ 関数 $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ はすべての $n \ge 1$ に対して $\mathrm{Re}(s) \ge 1$ 上で正則かつ消えない(ステップ4–7)ため、Serreの判定法(ステップ2)により角 $\theta_p$ は測度 $\frac{2}{\pi}\sin^2\theta\,d\theta$ に関して $[0,\pi]$ 上で均等分布し、サトー・テイト予想が確立される(Clozel–Harris–Shepherd-Barron–Taylor 2008年;Barnet-Lamb–Geraghty–Harris–Taylor 2011年)。

補助的なカラビ・ヤウ族による潜在的保型性と保型性リフト定理を組み合わせるこの方法は、サトー・テイトだけよりもはるかに広く応用可能であることが判明した:Barnet-Lamb、Gee、Geraghtyはこれを総実体上のヒルベルト・モジュラー形式へと拡張し、Barnet-Lamb、Gee、Geraghty、Taylor(2014年)による一般的な潜在的保型性定理は、今やLanglandsプログラム全体にわたる多くの結果の土台となっている。

より大きなコンパクト群 $\mathrm{USp}(2n)$ を用いるKatzとSarnakのランダム行列モデルによって予想される、より高い種数の曲線に対するサトー・テイトやその他の一般化は未解決のままであり、この研究方向の現在の最前線を示している。