解法: 対称冪の潜在的保型性によるサトー・テイト予想の証明(2011年)

ステップ6により、すべての非CM $E/\mathbb{Q}$ とすべての $n \ge 1$ に対して、ある総実体 $F$ に制限された $\mathrm{Sym}^n E$ は保型的であるため、$F$ 上の $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ は、ステップ3の一般保型理論によって保証される正則接続と $\mathrm{Re}(s) = 1$ 上での非消滅を享受する。

標準的な議論(保型誘導、あるいは $\mathbb{Q}$ と $F$ の間の体の塔のデデキント・ゼータ関数のアルティン型分解を比較すること)により、$\mathbb{Q}$ 上の $L$ 関数は適切な意味で $F$ 上のものを割り切ることが示され——商もまた $\mathrm{Re}(s) = 1$ 上で非消滅が知られる保型 $L$ 関数の積であることを用いて——同じ正則接続と非消滅が、すべての $n \ge 1$ に対して $\mathbb{Q}$ 自身の上の $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ へと降下する。

これはまさにSerreの判定法(ステップ2)が要求した解析的仮定であり、今やすべての非CM楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ に対して無条件に確立された。