解法: 対称冪の潜在的保型性によるサトー・テイト予想の証明(2011年)

Harris、Shepherd-Barron、Taylorは、Dwork型超曲面から作られる特定のカラビ・ヤウ多様体の族の中間コホモロジーの中に $\mathrm{Sym}^n E$ を実現した。この族は、ある繊維において対応する剰余ガロア表現が古典的な結果により保型的であり、かつその族の幾何がリフト定理に必要な「大きな像」条件を与えるように、まさに選ばれている。

必要な一致は一般に基礎体を拡大した後にしか整えられないため、保型性リフト定理は、$\mathbb{Q}$ 自身の上ではなく、ある補助的な総実(またはCM)数体 $F$ に対する $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/F)$ への制限としての $\mathrm{Sym}^n E$ の保型性を与える——これはHarris、Shepherd-Barron、Taylor(2010年、『Algebraic families of Galois representations and potentially automorphic representations』)によってこの形で導入された、潜在的保型性と呼ばれるより弱い結論である。

この潜在的保型性の戦略こそが、サトー・テイトの証明全体を可能にする中心的な革新である:$\mathbb{Q}$ 上に欠けている出発点を、幾何学的に一つ作り出すことで回避するのであり、その代償として基底変換の後にのみ保型性が証明されることになる。