解法: ZFC からのスースリン仮説の独立性(イェンセン、ソロヴェイ・テネンバウム、1971年)
実数直線 にはいくつかのなじみ深い順序的性質がある:稠密である(任意の二点の間に別の点がある)、完備である(隙間がない)、最初や最後の点を持たない、そして可分である——有理数 が可算集合としてその中にあり、任意の点に限りなく近づく。カントールはこの四つの性質を合わせれば、名前の付け替えを除いて を一意に特徴づけることを証明した。
可分性には一つの容易な帰結がある:互いに素な開区間からなる任意の族は可算でなければならない、なぜなら各区間は異なる有理数を含まなければならないからである。スースリンは1920年、この弱い帰結だけ——可算鎖条件と呼ばれる——がカントールの特徴づけにおいて可分性の代わりになりうるのか、それとも密かに可算な稠密部分集合を持たないまま、それを満たす謎めいた「偽物」の直線が存在しうるのかを問うた。
全順序集合 が線形連続体であるとは、稠密であり、完備(有界な集合には上限が存在する)であり、最小元も最大元も持たないことをいう。カントールの特徴づけ定理はこう述べる: が線形連続体であり、かつ可分(可算な稠密部分集合を持つ)であれば、 は と順序同型である。
ミハイル・スースリンは、1920年に死後出版された論文で、この定理における可分性を、厳密により弱い可算鎖条件(ccc)—— の互いに素な空でない開区間からなる任意の族が可算である——に置き換えられるかを問うた。可分な線形連続体はすべて自動的に ccc である(各区間は異なる有理数を捕らえなければならない)が、スースリンの問いは逆の含意も成り立つかどうかであった。
ccc を満たすが可分ではない、したがって と順序同型ではない仮想的な線形連続体はスースリン線と呼ばれ、スースリン仮説()とはスースリン線が存在しないという主張である。この問いに取り組むため、次のステップではこれを連続的な順序から、組合せ論的により扱いやすい木の言葉へと翻訳する。
- 可分な順序
- が の中に稠密に存在するように、任意の点に限りなく近づく可算部分集合を含む線形順序集合のこと。
- 可算鎖条件(ccc)
- 順序(あるいはより一般に半順序集合)が ccc を満たすとは、互いに素な空でない開区間(あるいは互いに両立しない要素)からなる任意の族が可算であることをいう。