解法: ホワイトヘッド問題が ZFC から独立であることのシェラハによる証明(1974年)

アーベル群 $F$ が自由であるとは、ある添字集合 $I$(その基底)について $F \cong \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}$ となることをいう:$F$ のすべての要素は基底要素の一意な有限 $\mathbb{Z}$-線形結合であり、可換性が強いる以外の関係は一切ない。すべてのアーベル群はある自由アーベル群の商であるが、それ自体が自由である群はごくわずかである——自由群にはねじれがなく、隠れた代数的関係も一切ない。

自由性は、純粋な群論をはるかに超えて重要となるほど強い剛性の性質である:それはまさに、(この証明全体で使われる $\mathrm{Ext}$ 群のような)ホモロジー計算が自明に消える代数的条件である。J.H.C. ホワイトヘッドは、アーベル群の計算に帰着するホモトピー論の問いに1950年代に取り組む中で、より弱い純粋にホモロジー的な判定法——$\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z})$ の消滅——が、基底を直接書き下すことなく実際に自由性を保証できるかを問うた。

次のステップでは、この判定法を正確に定義し、ホワイトヘッドの問いを完全に述べる。