解法：旺泽尔利用域扩张给出的代数不可能性证明(1837年)

用尺规三等分一个给定角 $\theta$,是指通过有限步合法的欧几里得操作从该角作出角 $\theta/3$。为使"合法操作"可检验,旺泽尔把整个问题算术化:在坐标中,作一个角等价于作它的余弦(向单位圆作垂线可从 $\cos\theta$ 恢复 $\theta$,反之亦然),所以三等分 $\theta$ 当且仅当 $\cos(\theta/3)$ 是可作图实数。

选 $\theta = 60^\circ$ 是最经济的反例:$\cos 60^\circ = 1/2$ 可作图,故 $60^\circ$ 本身画得出来——于是只需证明 $20^\circ$,等价地 $x = 2\cos 20^\circ$,作不出来。一个不可作图的实例就足以推翻普遍命题,因为任何声称普遍适用的三等分程序都必须对这个特定角有效。

旺泽尔1837年发表于刘维尔期刊的论文以三个代数步骤实施这一计划:(1) 尺规每一步至多把可用坐标域扩大一个二次扩张,故可作图数在 $\mathbb{Q}$ 上的次数是 $2$ 的幂(第1–2步);(2) 三倍角公式把 $\cos 20^\circ$ 变成三次方程 $x^3 - 3x - 1 = 0$ 的根(第3步);(3) 该三次方程在 $\mathbb{Q}$ 上不可约(第4步),给出次数 $3$——不是 $2$ 的幂(第5步)。