解法：阿贝尔–鲁菲尼定理与伽罗瓦可解性判据(1824年)

第 1/8 步：根式塔形式化“可用根式求解”的概念

通俗地说

一个根式公式,就像二次方程求根公式 $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/2a$ 那样,其实不过是对系数施加有限次加减乘除和开根号的一套步骤。把这套步骤写成一列域——从 $\mathbb{Q}$ 出发,每次添加一个新的根式——就把一个模糊的期望(“是否存在公式?”)变成了一个可以真正研究的精确数学对象。

\mathbb{Q} = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_r, \quad K_i = K_{i-1}(\sqrt[n_i]{a_i})

详细分析

多项式方程 $f(x)=0$ 可用根式求解,是指其所有根都位于某个由 $\mathbb{Q}$ 出发经过有限条根式扩张链 $K_i = K_{i-1}(\sqrt[n_i]{a_i})$ 得到的域 $K_r$ 中,每一步在 $K_{i-1}$ 中已有元素上添加一个 $n_i$ 次根。

本步骤中的术语

域: 像 $\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{R}$ 这样的数集,对加、减、乘以及除以任意非零元素都封闭。
域扩张: 包含较小域 $K$ 的域 $L$ ,记作 $L/K$ ;新元素通过在 $K$ 上添加诸如根这样的额外数得到。
根式扩张: 在 $K_{i-1}$ 中已有元素 $a$ 上添加其 $n$ 次根而形成的一步域扩张 $K_{i-1}(\sqrt[n]{a})$ 。

本步骤用到的知识

伽罗瓦理论群论