Lời giải: Định lý Abel–Ruffini và tiêu chuẩn giải được của Galois (1824)

Nói một nghiệm của $f$ 'biểu diễn được bằng căn thức' nghĩa là tồn tại một tháp trường hữu hạn $\mathbb{Q} = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_r$ với $K_i = K_{i-1}(\sqrt[n_i]{a_i})$, trong đó $a_i \in K_{i-1}$ và số mũ $n_i \ge 2$, sao cho nghiệm đó nằm trong $K_r$. Trong tháp, bốn phép toán trường được dùng tự do — chúng không bao giờ làm trường lớn lên — nên các phần tử mới thực sự duy nhất được tạo ra là các căn bậc $n_i$. Các công thức cổ điển đúng là những tháp như vậy đọc theo chiều ngược: công thức bậc hai chỉ dùng một tầng $\mathbb{Q}(\sqrt{b^2-4ac})$, còn công thức Cardano cho bậc ba cần một tầng thêm căn bậc ba của đơn vị và một tầng thêm $\sqrt[3]{-q/2+\sqrt{D}}$.

Cách phát biểu 'chứa trong' rất quan trọng: ta không đòi $K_r$ bằng trường phân rã $E$ của $f$, chỉ cần $E \subseteq K_r$. Điều đó biến 'giải được bằng căn thức' thành một tính chất về nhúng trường, và chuyển câu hỏi về hoán vị nghiệm mà Ruffini và Abel đặt ra thành lý thuyết trường thuần túy: có tồn tại hay không một tháp căn thức có đỉnh chứa $E$?

Hai điểm tinh tế đã thấy trong định nghĩa sẽ quan trọng về sau. Thứ nhất, biểu thức dưới căn $a_i$ chạy trên toàn bộ $K_{i-1}$, không chỉ trên $\mathbb{Q}$, nên việc lồng nhau là cốt yếu — đó chính là ý nghĩa hình thức của 'công thức có căn lồng trong căn'. Thứ hai, nói chung $K_i/K_{i-1}$ không chuẩn tắc cũng không Galois, nên tháp thô chưa sẵn sàng cho lý thuyết nhóm; Bước 1 sẽ làm mịn nó.