解法：阿贝尔–鲁菲尼定理与伽罗瓦可解性判据(1824年)

说 $f$ 的一个根"可用根式表示",是指存在一个有限的域塔 $\mathbb{Q} = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_r$,其中每一层都满足 $K_i = K_{i-1}(\sqrt[n_i]{a_i})$($a_i \in K_{i-1}$,指数 $n_i \ge 2$),且该根落在 $K_r$ 中。在塔内可以任意使用四种域运算——它们永远不会扩大域——因此真正新产生的元素只有 $n_i$ 次根。古典求根公式恰好就是这样的塔倒过来读:二次公式只用一层 $\mathbb{Q}(\sqrt{b^2-4ac})$,而卡尔达诺三次公式需要一层添加单位立方根,再加一层 $\sqrt[3]{-q/2+\sqrt{D}}$。

"包含"这一表述很关键:我们不要求 $K_r$ 等于 $f$ 的分裂域 $E$,只要求 $E \subseteq K_r$。这把"可用根式求解"变成了关于域嵌入的性质,也把鲁菲尼和阿贝尔最初提出的根的置换问题转化为纯域论问题:是否存在某个根式塔,其顶端包含 $E$?

定义中已经可见的两个微妙之处日后会很重要。其一,被开方式 $a_i$ 取遍整个 $K_{i-1}$ 而不只是 $\mathbb{Q}$,所以嵌套是本质的——这正是"根号套根号的公式"的形式含义。其二,一般而言 $K_i/K_{i-1}$ 既不正规也非伽罗瓦扩张,因此原始的塔尚不能施用群论;第1步将把它精细化。