MathLabs

Lời giải: Định lý Abel–Ruffini và tiêu chuẩn giải được của Galois (1824)

Bước 4 trên 8: Nhóm giải được: những dãy luôn kết thúc bằng các bước giao hoán
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hãy hình dung việc tháo rời một cỗ máy phức tạp thành một chồng các hộp số ngày càng đơn giản, trong đó mỗi hộp số riêng lẻ trong chồng đó, xét độc lập, hoạt động như một cái núm cơ bản, giao hoán (vặn trái rồi phải cho cùng kết quả như vặn phải rồi trái). Một nhóm được gọi là "giải được" đúng khi nó có thể tháo rời thành một chồng như vậy, dù cần bao nhiêu mảnh đi nữa.

G solvable  ⟺  ∃  1=Gr◃Gr−1◃⋯◃G0=G with each Gi/Gi+1 abelianG \text{ solvable} \iff \exists\; 1 = G_r \triangleleft G_{r-1} \triangleleft \cdots \triangleleft G_0 = G \text{ with each } G_i/G_{i+1} \text{ abelian}
Phân tích chi tiết

Một nhóm GG được gọi là giải được nếu tồn tại một dãy nhóm con 1=Gr◃Gr−1◃⋯◃G0=G1=G_r\triangleleft G_{r-1}\triangleleft\cdots\triangleleft G_0=G, mỗi nhóm chuẩn tắc trong nhóm ngay trên nó, mà các thương liên tiếp Gi/Gi+1G_i/G_{i+1} đều giao hoán (Abel). Đây chính xác là hình dạng mà tương ứng ở Bước 3 tạo ra từ một tháp căn thức: dãy nhóm con G=H0≥H1≥⋯≥Hm=1G=H_0\ge H_1\ge\cdots\ge H_m=1 dựng ở đó có các thương giao hoán (thực ra là cyclic) Hi−1/HiH_{i-1}/H_i, nên GG giải được bất cứ khi nào ff giải được bằng căn thức.

Thuật ngữ trong bước này
Nhóm giải được
Một nhóm có thể tách nhỏ bằng một dãy nhóm con chuẩn tắc thành các bước với thương giao hoán; cái tên này bắt nguồn trực tiếp từ định lý liên hệ nó với việc giải phương trình bằng căn thức.
Nhóm thương
Nhóm G/NG/N được tạo từ một nhóm GG và một nhóm con chuẩn tắc NN, bằng cách coi các phần tử khác nhau một lượng thuộc NN là như nhau.
Kiến thức dùng ở bước này
Lý thuyết nhóm