Lời giải: Định lý Abel–Ruffini và tiêu chuẩn giải được của Galois (1824)

Bước 3 trên 8: Tương ứng Galois biến các trường thành các nhóm

Hiểu nôm na

Tương ứng Galois giống như một cuốn từ điển hoàn hảo giữa hai ngôn ngữ: mọi trường trung gian nằm giữa $F$ và trường lớn $E$ đều có một bản dịch chính xác là một nhóm con các tự đẳng cấu, và trường lớn hơn dịch thành nhóm nhỏ hơn (và ngược lại). Một khi tháp trường ở Bước 2 được dịch theo cách này, toàn bộ tháp căn thức trở thành một tháp các nhóm nằm bên trong $\mathrm{Gal}(E/F)$ .

E/F \text{ normal}, \qquad \{\text{subfields } K,\ F\subseteq K\subseteq E\} \;\longleftrightarrow\; \{\text{subgroups } H \le \mathrm{Gal}(E/F)\}

Phân tích chi tiết

Với một mở rộng chuẩn tắc (Galois) $E/F$ , tồn tại một tương ứng một-một, đảo ngược bao hàm, giữa các trường trung gian $K$ với $F\subseteq K\subseteq E$ và các nhóm con $H$ của $G=\mathrm{Gal}(E/F)$ : trường $K$ tương ứng với nhóm con $\mathrm{Gal}(E/K)$ gồm các tự đẳng cấu giữ nguyên từng điểm của $K$ , còn một nhóm con $H$ tương ứng với trường bất động của nó. Áp dụng tương ứng này cho tháp căn thức đã làm mịn ở Bước 2 biến dãy trường $F=K_0'\subseteq K_1'\subseteq\cdots\subseteq K_m'=E$ thành một dãy nhóm con $G=H_0 \ge H_1 \ge \cdots \ge H_m=1$ , mỗi $H_i$ chuẩn tắc trong $H_{i-1}$ với thương cyclic $H_{i-1}/H_i \cong \mathrm{Gal}(K_i'/K_{i-1}')$ .

Thuật ngữ trong bước này

Tương ứng Galois: Cuốn từ điển, với một mở rộng chuẩn tắc, ghép mỗi trường trung gian với một nhóm con của nhóm Galois, theo kiểu đảo ngược quan hệ bao hàm.
Nhóm con chuẩn tắc: Một nhóm con $N$ của $G$ không đổi khi liên hợp ( $gNg^{-1}=N$ với mọi $g\in G$ ), đây chính là điều kiện cho phép dựng nhóm thương $G/N$ .

Kiến thức dùng ở bước này

Lý thuyết Galois Lý thuyết nhóm Định lý cơ bản của lý thuyết Galois