Lời giải: Định lý Abel–Ruffini và tiêu chuẩn giải được của Galois (1824)
Bước 1–4 đã dựng một cây cầu một chiều: một công thức căn thức cho tạo ra một nhóm Galois giải được. Cái nhìn sâu sắc thực sự của Galois là cây cầu đó cũng chạy được theo chiều ngược lại — từ một nhóm giải được, ta luôn có thể chế tạo ra các công thức căn thức, về cơ bản bằng cách đảo ngược phép dựng (kỹ thuật cổ điển cho việc này dùng các giải thức Lagrange, tổng các nghiệm với trọng số là căn của đơn vị). Vậy hai khái niệm, một về phương trình và một về nhóm, hóa ra chỉ là cùng một sự kiện nhìn từ hai phía.
Gộp Bước 1–4 lại cho ta một chiều: nếu giải được bằng căn thức thì nhóm Galois của nó giải được. Galois cũng chứng minh chiều ngược lại — từ một nhóm Galois giải được, ta có thể dựng lại một tháp căn thức mà trường trên cùng chứa mọi nghiệm — nên hai điều kiện trùng khớp hoàn toàn, cho ra tiêu chuẩn Galois: giải được bằng căn thức khi và chỉ khi là nhóm giải được. Tiêu chuẩn này, do Galois trình bày vào khoảng 1830–1832 và công bố sau khi ông mất vào năm 1846, biến một câu hỏi về công thức thành một câu hỏi hữu hạn thuần túy về cấu trúc của một nhóm hoán vị.