Lời giải: Chứng minh của Shelah rằng bài toán Whitehead độc lập với ZFC (1974)

Một nhóm Abel $F$ là tự do nếu $F \cong \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}$ với một tập chỉ số $I$ nào đó (cơ sở của nó): mọi phần tử của $F$ là một tổ hợp tuyến tính $\mathbb{Z}$ hữu hạn duy nhất của các phần tử cơ sở, không có quan hệ nào ngoài những gì tính giao hoán buộc phải có. Mọi nhóm Abel đều là thương của một nhóm Abel tự do nào đó, nhưng rất ít nhóm bản thân là tự do — các nhóm tự do không có xoắn và không có quan hệ đại số ẩn nào cả.

Tính tự do là một tính chất chặt chẽ đủ mạnh để quan trọng vượt xa lý thuyết nhóm thuần túy: đó chính xác là điều kiện đại số khiến các tính toán đồng điều (như các nhóm $\mathrm{Ext}$ dùng xuyên suốt chứng minh này) triệt tiêu tầm thường. J.H.C. Whitehead, làm việc vào những năm 1950 về các câu hỏi trong lý thuyết đồng luân quy về tính toán nhóm Abel, đặt câu hỏi liệu một phép thử đồng điều thuần túy yếu hơn — sự triệt tiêu của $\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z})$ — có thực sự chứng thực được tính tự do mà không cần viết ra cơ sở trực tiếp hay không.

Bước tiếp theo định nghĩa chính xác phép thử này và phát biểu đầy đủ câu hỏi của Whitehead.