解法：谢拉证明怀特黑德问题独立于ZFC(1974年)

一个基数为 $\aleph_1$ 的阿贝尔群 $W$ 是 $\aleph_1$-自由的,是指它可以写成由可数子群构成的连续递增链 $W = \bigcup_{\alpha<\omega_1} W_\alpha$,每个 $W_\alpha$ 都是自由的,并且在极限阶段 $\alpha$ 处有 $\bigcup_{\beta<\alpha} W_\beta = W_\alpha$。怀特黑德群理论中的一个标准定理,结合斯坦因的可数情形与滤链论证,说明每个基数为 $\aleph_1$ 的怀特黑德群都是 $\aleph_1$-自由的;这不应被理解为声称 $\mathrm{Ext}^1=0$ 无需额外论证就被任意子群继承。

单靠 $\aleph_1$-自由性并不能推出整体的自由性——这正是整个问题的核心所在。一个著名的判据(本质上归功于庞特里亚金,并被改造以适应这个不可数的场景)指出:一个 $\aleph_1$-自由群 $W$ 真正自由,恰好当滤链 $\langle W_\alpha \rangle$ 可以被选取得使 $W_{\alpha+1}/W_\alpha$ 在一个“club”(闭无界)阶段集合 $\alpha$ 上都是自由的——也就是说,当每一层新楼层叠在前面楼层之上的方式在整体上表现均匀良好时。

对于满足 $\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z}) = 0$ 的群,这样一个整体表现良好的滤链是否总能找到,结果证明这仅凭 $\mathrm{ZFC}$ 是无法判定的:接下来两步将说明在 $V = L$ 下总能安排出这样的滤链,而在 $\mathrm{MA} + \neg\mathrm{CH}$ 下则真的可能做不到。