解法：谢拉证明怀特黑德问题独立于ZFC(1974年)

假设马丁公理与 $2^{\aleph_0} > \aleph_1$ 同时成立。利用 $\omega$ 的一个几乎不交族 $\{ a_\xi : \xi < \aleph_1 \}$(两两交集有限),构造一个基数为 $\aleph_1$ 的具体阿贝尔群 $W$,它由与每个 $a_\xi$ 相关联的符号加上一个可数自由部分生成,粘合的方式使 $W$ 是 $\aleph_1$-自由的,但其滤链无法被安排成庞特里亚金判据所要求的、由club支撑的整体表现良好的形式——因此 $W$ 可证明不是自由的。

尽管如此,要证明 $\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z}) = 0$,需要同时解决 $\aleph_1$ 个相容的局部提升问题(滤链每个阶段一个);谢拉证明这归结为在一个自然关联的ccc偏序集中寻找一个与 $\aleph_1$ 个稠密子集相交的滤子,而这正是(由于 $2^{\aleph_0} > \aleph_1$ 而可用的)$\mathrm{MA}_{\aleph_1}$ 所保证的。因此在 $\mathrm{MA} + \neg\mathrm{CH}$ 下,$W$ 是一个基数为 $\aleph_1$ 的真正非自由怀特黑德群。

由于 $\mathrm{MA} + \neg\mathrm{CH}$ 本身相对于 $\mathrm{ZFC}$ 是相容的(通过苏斯林问题姊妹证明中所述的索洛维–滕鲍姆迭代力迫),这表明 $\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC} + \neg\mathrm{Free}(\mathrm{Wh}))$,其中 $\neg\mathrm{Free}(\mathrm{Wh})$ 缩写“某个怀特黑德群不是自由的”——这是独立性结果的第二半。