Bài toán lớn

Thế kỷ 20

1. 1900
   Bài toán thứ mười sáu của HilbertPhương trình vi phân và Hệ động lực, Hình học. Hỏi về các cách sắp xếp có thể có của các đường trái xoan của một đường cong đại số thực bậc $n$ và một chặn đều $H(n)$ cho số chu trình giới hạn của trường vectơ đa thức bậc $n$ trên mặt phẳng. Mỗi hệ đa thức riêng lẻ chỉ có hữu hạn chu trình giới hạn (Ilyashenko 1991; Écalle 1992), nhưng việc $H(n) < \infty$ hay không vẫn còn để ngỏ ngay cả với $n = 2$.Hilbert #16Smale #13Còn mở
2. 1939
   Giả thuyết JacobiĐại số, Giải tích. Hỏi liệu mọi ánh xạ đa thức $k^n \to k^n$ trên trường đặc số không với định thức Jacobi hằng khác không đều có ánh xạ ngược đa thức hay không; đã bị bác bỏ với $n \ge 3$ năm 2026 trong khi trường hợp phẳng $n = 2$ vẫn còn mở.Smale #16Giải một phần
3. 1963
   Sự tồn tại của tập hút LorenzPhương trình vi phân và Hệ động lực. Chứng minh rằng hệ phương trình vi phân Lorenz cổ điển thực sự sở hữu một tập hút kỳ lạ hỗn loạn bền vững, giải quyết bài toán thứ 14 của Smale thông qua chứng minh có máy tính hỗ trợ chặt chẽ của Warwick Tucker.Smale #14Đã giải

Đương đại

1. 2000
   Sự tồn tại và độ trơn của nghiệm Navier–StokesPhương trình vi phân và Hệ động lực. Hỏi liệu hệ Navier–Stokes không nén 3 chiều luôn có nghiệm trơn, xác định toàn cục từ dữ liệu ban đầu trơn, hay có thể bùng nổ trong thời gian hữu hạn — một trong 7 Bài toán thiên niên kỷ Clay.MillenniumSmale #15Còn mở