Bài toán mở, Đại số, Giải tích, nêu năm 1939

Giả thuyết Jacobi

Giải một phầnSmale #16

Cho $k$ là một trường có đặc số $0$ (tương đương với $k = \mathbb{C}$ ) và $F = (f_1, \dots, f_n) : k^n \to k^n$ là một ánh xạ đa thức có định thức Jacobi $\det\!\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)$ là một hằng số khác không trong $k^\times$ . Hỏi $F$ có bắt buộc phải có ánh xạ ngược đa thức $G : k^n \to k^n$ hay không?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tháng 7 năm 2026, Levent Alpöge đã bác bỏ giả thuyết Jacobi tổng quát ở mọi số chiều $n \ge 3$ bằng cách chỉ ra ánh xạ đa thức tường minh $F(x,y,z) = ((1+xy)^3 z + y^2(1+xy)(4+3xy),\, y + 3x(1+xy)^2 z + 3xy^2(4+3xy),\, 2x - 3x^2 y - x^3 z)$ , có định thức Jacobi hằng bằng $-2$ khắp nơi trên $\mathbb{C}^3$ nhưng nhìn chung là ánh xạ $3$ -vào- $1$ . Do đó, tính đến năm 2026, chỉ còn giả thuyết Jacobi phẳng hai chiều ( $n = 2$ ) là chưa có lời giải.

Kết quả tốt nhất đã biết

Alpöge (2026): giả thuyết Jacobi sai ở mọi số chiều $n \ge 3$ , với một phản ví dụ tường minh bậc $5$ trong không gian $n = 3$ .
Ở chiều $n = 2$ , giả thuyết đúng khi mở rộng trường $\mathbb{C}(x,y)/\mathbb{C}(f,g)$ là Galois (Campbell, 1973), khi bậc không quá $104$ (Moh, 1983; Nguyen, 2025), hoặc khi $\gcd(\deg f, \deg g)$ là số nguyên tố hay không quá $16$ (Abhyankar, Appelgate–Onishi, Nagata).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Đa giác Newton và nghiệm xấp xỉ ở vô cực (Abhyankar–Moh–Nagata)	Loại trừ các phản ví dụ phẳng tới bậc $104$ và ràng buộc tỷ số $\deg f / \deg g$ của mọi phản ví dụ phẳng giả định	Sự bùng nổ tổ hợp của các nhánh kỳ dị ở vô cực ngăn cản việc bao quát các cặp bậc hợp số tùy ý khi $n = 2$
Giảm bậc và ma trận Jacobi lũy linh (Bass–Connell–Wright)	Quy bài toán tổng quát về các ánh xạ thuần nhất bậc ba $x + H(x)$ với cái giá là làm tăng số chiều $n$	Vì phép ổn định hóa làm tăng số chiều $n$ mà giả thuyết lại sai với $n \ge 3$ , phương pháp giảm bậc chiều cao không thể giải quyết trường hợp $n = 2$

Câu hỏi còn mở

Giả thuyết Jacobi phẳng ( $n = 2$ ) có đúng với mọi ánh xạ đa thức $F : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ có định thức Jacobi hằng khác không hay không?
Giả thuyết Dixmier thứ nhất có đúng không: mọi tự đồng cấu đại số của đại số Weyl thứ nhất $A_1(\mathbb{C})$ có phải là một tự đẳng cấu hay không?

Tài liệu tham khảo

Ott-Heinrich Keller (1939). Ganze Cremona-Transformationen · DOI:10.1007/BF01704923
Hyman Bass, Edwin H. Connell, David Wright (1982). The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse · DOI:10.1090/S0273-0979-1982-15032-7
Arno van den Essen (2000). Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture