Bài toán lớn

Cổ đại

1. 450 TCN
   Chia ba một góc bằng thước kẻ và compaHình học, Đại số. Được Pierre Wantzel chứng minh là bất khả thi trong trường hợp tổng quát vào năm 1837: việc chia ba góc $60^\circ$ đòi hỏi phải dựng được $\cos(20^\circ)$, có đa thức tối tiểu $8x^3 - 6x - 1 = 0$ trên $\mathbb{Q}$ mang bậc $3$, không phải là lũy thừa của $2$.Đã giải
2. 450 TCN
   Cầu phương hình trònHình học, Đại số. Cầu phương hình tròn bằng compa và thước thẳng là bất khả thi, vì $\pi$ là số siêu việt.FLFerdinand von Lindemann, 1882
3. 430 TCN
   Gấp đôi khối lập phươngHình học, Đại số. Được biết đến từ thời cổ đại dưới tên bài toán Delos, việc gấp đôi khối lập phương bằng thước kẻ và compa đã được Pierre Wantzel chứng minh là bất khả thi vào năm 1837 vì $\sqrt[3]{2}$ có bậc đại số $3$ trên $\mathbb{Q}$, không phải là lũy thừa của $2$.Đã giải
4. 300 TCN
   Đa giác đều dựng được bằng thước kẻ và compa (Gauss–Wantzel)Hình học, Đại số. Theo định lý Gauss–Wantzel (1796–1837), đa giác đều $n$ cạnh dựng được bằng thước kẻ và compa khi và chỉ khi $n = 2^k p_1 \cdots p_m$ là tích của một lũy thừa của $2$ với các số nguyên tố Fermat phân biệt $p_i = 2^{2^{r_i}} + 1$.CGCarl Friedrich Gauss, 1837
5. 100
   Số hoàn hảo lẻSố học và Lý thuyết số. Định lý Euclid–Euler đặc trưng hoàn toàn các số hoàn hảo chẵn dưới dạng $2^{p-1}(2^p - 1)$ với $2^p - 1$ là số nguyên tố Mersenne, nhưng việc có tồn tại số hoàn hảo lẻ hay không là một trong những bài toán mở cổ xưa nhất của toán học. Bất kỳ ví dụ giả định nào cũng phải có dạng Euler $N = q^k m^2$ với $q \equiv k \equiv 1 \pmod{4}$, lớn hơn $10^{1500}$ và có ít nhất 10 ước nguyên tố phân biệt.Còn mở

Cận đại

1. 1611
   Phỏng đoán KeplerHình học. Cách xếp chồng các quả cầu bằng nhau dày đặc nhất trong không gian chính là kiểu chồng đạn đại bác quen thuộc, với mật độ $\pi/\sqrt{18}$.Hilbert #18THThomas Hales, 1998
2. 1637
   Định lý lớn FermatSố học và Lý thuyết số. Không có ba số nguyên dương nào thỏa mãn $x^n + y^n = z^n$ với số mũ nguyên $n > 2$ — được Fermat nêu ra khoảng năm 1637 và được Andrew Wiles chứng minh năm 1994–1995 (cùng Richard Taylor) thông qua tính modular của đường cong elliptic bán ổn định.AWAndrew Wiles, 1994
3. 1640
   Tính hữu hạn của số nguyên tố FermatSố học và Lý thuyết số. Fermat giả thuyết năm 1640 rằng mọi số $2^{2^n}+1$ đều là số nguyên tố; Euler bác bỏ điều này năm 1732 bằng cách phân tích $F_5$. Từ đó, mọi số Fermat đã kiểm tra từ $F_5$ đến $F_{32}$ đều là hợp số, và chưa từng tìm được số nguyên tố Fermat thứ sáu, dẫn tới giả thuyết hiện đại (ngược lại) rằng chỉ có hữu hạn số như vậy.Còn mở
4. 1644
   Vô hạn số nguyên tố MersenneSố học và Lý thuyết số. Marin Mersenne liệt kê các số mũ mà ông tin cho ra số nguyên tố $2^p-1$ vào năm 1644. Ngày nay chỉ biết 52 số nguyên tố Mersenne, số lớn nhất, $2^{136279841}-1$, được tìm thấy năm 2024 với hơn 41 triệu chữ số. Mỗi số mới ngày càng khó tìm hơn theo cấp số nhân, và dù các mô hình heuristic dự đoán có vô hạn số như vậy, chưa có chứng minh nào.Còn mở
5. 1650
   Bài toán BaselGiải tích. Tổng $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$ bằng $\pi^2/6$.LELeonhard Euler, 1735
6. 1694
   Bài toán số tiếp xúc (kissing number)Hình học. Có tối đa bao nhiêu hình cầu bằng nhau, không chồng lấn trong $\mathbb{R}^n$ có thể cùng tiếp xúc với một hình cầu cùng kích thước ở tâm? Bắt nguồn từ cuộc tranh luận năm 1694 giữa Isaac Newton và David Gregory cho $n=3$, giá trị chính xác $k(n)$ hiện chỉ mới biết ở các chiều $n = 1, 2, 3, 4, 8, 24$.Giải một phần

Thế kỷ 18

1. 1734
   Tính vô tỉ của hằng số Euler–MascheroniSố học và Lý thuyết số, Giải tích. Được Leonhard Euler đưa ra năm 1734 như giới hạn hiệu giữa chuỗi điều hòa $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ và logarit tự nhiên $\ln n$, hằng số $\gamma$ xuất hiện khắp giải tích, lý thuyết số và xác suất, đặc biệt là hệ số tự do trong khai triển Laurent $\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(s-1)$ tại $s = 1$ và trong tích Weierstrass của $\Gamma(z)$. Dù là một trong ba hằng số kinh điển của giải tích bên cạnh $\pi$ và $e$, tới nay vẫn chưa ai biết $\gamma$ là số hữu tỉ, vô tỉ, đại số hay siêu việt. Các tính toán phân số liên tục cho thấy nếu $\gamma = p/q$ là số hữu tỉ thì mẫu số phải thỏa mãn $q > 10^{242080}$.Còn mở
2. 1734
   Tính vô tỉ của ζ(5) và các giá trị hàm zeta tại số lẻSố học và Lý thuyết số. Năm 1734, Leonhard Euler tính được $\zeta(2) = \pi^2/6$ và tổng quát hơn chỉ ra rằng mọi giá trị chẵn $\zeta(2k)$ đều là một bội hữu tỉ của $\pi^{2k}$, do đó là số siêu việt. Ngược lại, chưa có công thức đóng nào theo $\pi$ cho các giá trị tại số lẻ $\zeta(2k+1)$. Roger Apéry gây chấn động giới toán học năm 1978 khi chứng minh $\zeta(3)$ là số vô tỉ, và giai đoạn 2000–2001 Tanguy Rivoal cùng Keith Ball chứng minh có vô hạn giá trị zeta tại số lẻ là vô tỉ, còn Wadim Zudilin chứng minh ít nhất một trong bốn số $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ là vô tỉ. Tuy nhiên, tính vô tỉ của bất kỳ giá trị cụ thể nào $\zeta(2k+1)$ với $k \ge 2$, bắt đầu từ $\zeta(5)$, vẫn còn mở.Còn mở
3. 1736
   Bảy cây cầu ở KönigsbergTổ hợp và Toán rời rạc. Không tồn tại đường đi như vậy: đồ thị tương ứng có bốn đỉnh bậc lẻ.LELeonhard Euler, 1736
4. 1742
   Giả thuyết GoldbachSố học và Lý thuyết số. Trong một lá thư năm 1742 gửi Euler, Goldbach đề xuất rằng mọi số nguyên lớn hơn 2 đều là tổng của ba số nguyên tố (khi đó số 1 vẫn được coi là số nguyên tố); Euler phát biểu lại thành dạng chuẩn và mạnh hơn ngày nay: mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tố. Dù đã được máy tính kiểm tra cho mọi số chẵn tới $4\times10^{18}$, và dù có nhiều kết quả từng phần mạnh, phát biểu tổng quát vẫn chưa được chứng minh. Một phát biểu khác, yếu hơn — giả thuyết Goldbach yếu (ba phần), rằng mọi số lẻ lớn hơn 5 đều là tổng của ba số nguyên tố — đã được Helfgott chứng minh trọn vẹn năm 2013.Landau #1Còn mở
5. 1770
   Bất khả giải của phương trình bậc nămĐại số. Khác với công thức bậc hai, bậc ba và bậc bốn, không công thức căn thức nào giải được phương trình bậc năm tổng quát — một sự thật được lý thuyết Galois giải thích đầy đủ.NANiels Henrik Abel, 1824
6. 1770
   Bài toán WaringSố học và Lý thuyết số. Mọi số tự nhiên đều là tổng của $4$ số chính phương, $9$ lập phương, $19$ lũy thừa bậc bốn, v.v.: được Edward Waring dự đoán năm 1770 và được giải quyết năm 1909 khi David Hilbert chứng minh sự tồn tại của cận hữu hạn $g(k)$ cho mọi số mũ $k$.DHDavid Hilbert, 1909

Thế kỷ 19

1. 1808
   Giả thuyết LegendreSố học và Lý thuyết số. Hỏi liệu có luôn tồn tại một số nguyên tố giữa hai số chính phương liên tiếp bất kỳ $n^2$ và $(n+1)^2$ — một khoảng có độ dài $2n + 1 \approx 2x^{1/2}$ tại $x = n^2$. Được Edmund Landau xếp vào bốn bài toán số nguyên tố 'bất khả công phá' năm 1912, giả thuyết vẫn còn mở ngay cả khi giả sử giả thuyết Riemann đúng.Landau #3Còn mở
2. 1834
   Bài toán hình tròn GaussSố học và Lý thuyết số, Giải tích. Vì mỗi điểm lưới nguyên $(m,n) \in \mathbb{Z}^2$ là tâm của một hình vuông đơn vị có diện tích bằng $1$, số điểm nguyên bên trong $x^2+y^2 \le r^2$ được xấp xỉ bởi diện tích $\pi r^2$. Năm 1834, Carl Friedrich Gauss chứng minh chặn hình học sơ cấp $|E(r)| \le 2\sqrt{2}\pi r$, cho thấy $E(r) = O(r)$. Sierpiński cải thiện kết quả này thành $O(r^{2/3})$ vào năm 1906, trong khi G. H. Hardy và Edmund Landau độc lập chứng minh năm 1915 rằng $E(r)$ không thể là $O(r^{1/2})$, tức là $\theta \ge \tfrac{1}{2}$. Dù qua một thế kỷ tinh chỉnh bằng phương pháp tổng mũ dẫn tới chặn công bố của Martin Huxley $\theta \le \tfrac{131}{208} \approx 0.62981$, giá trị giả thuyết $\theta = \tfrac{1}{2}$ vẫn còn để ngỏ.Còn mở
3. 1844
   Phỏng đoán CatalanSố học và Lý thuyết số. 8 và 9 là hai lũy thừa hoàn hảo liên tiếp duy nhất của các số nguyên dương; Catalan phỏng đoán điều này năm 1844, Mihăilescu chứng minh năm 2002.PMPreda Mihăilescu, 2002
4. 1849
   Bài toán ước số DirichletSố học và Lý thuyết số, Giải tích. Việc đếm các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thoả mãn $ab \le x$ tương đương hình học với việc đếm các điểm lưới nguyên nằm dưới hyperbol vuông $ab = x$ trong góc phần tư thứ nhất. Bằng cách chia miền tại $\sqrt{x}$ (phương pháp hyperbol Dirichlet), Peter Gustav Lejeune Dirichlet chứng minh năm 1849 rằng $D(x) = x\log x + (2\gamma - 1)x + O(x^{1/2})$. Voronoi hạ số mũ sai số xuống $\tfrac{1}{3}$ vào năm 1904, còn Hardy và Landau chứng minh năm 1915 rằng $\theta \ge \tfrac{1}{4}$. Do $\sum_{n=1}^{\infty} d(n)n^{-s} = \zeta(s)^2$, bài toán gắn bó mật thiết với tốc độ tăng của hàm zeta Riemann trên đường tới hạn và dùng chung bộ máy tổng mũ với bài toán hình tròn Gauss, với chặn công bố năm 2003 của Martin Huxley $\theta \le \tfrac{131}{416} \approx 0.31490$ là kỷ lục hiện hành.Còn mở
5. 1849
   Giả thuyết số nguyên tố sinh đôiSố học và Lý thuyết số. Các cặp như $(3,5)$, $(11,13)$, $(17,19)$ được gọi là số nguyên tố sinh đôi. Alphonse de Polignac phát biểu giả thuyết dưới dạng tổng quát năm 1849, là trường hợp $n=2$ của khẳng định rằng mọi số chẵn $n$ đều là khoảng cách giữa vô hạn cặp số nguyên tố liên tiếp. Bài toán từng bị coi là vô vọng cho tới khi Yitang Zhang chứng minh năm 2013 rằng có một khoảng cách nào đó dưới một chặn cố định lặp lại vô hạn lần — bước đột phá đầu tiên, gây chấn động, hướng tới giả thuyết. Các cải tiến lý thuyết sàng từ đó đã đưa chặn từ 70.000.000 xuống còn 246, nhưng chưa phương pháp nào ép được khoảng cách xuống tới 2.Landau #2Còn mở
6. 1852
   Định lý bốn màuTổ hợp và Toán rời rạc. Mọi bản đồ phẳng (hay đồ thị phẳng không khuyên $G$) đều có thể tô bằng tối đa $4$ màu ($\chi(G) \le 4$) — do Francis Guthrie đặt ra năm 1852, được Kenneth Appel và Wolfgang Haken chứng minh với sự trợ giúp của máy tính năm 1976, được rút gọn năm 1997, và được Georges Gonthier kiểm chứng hình thức trong Coq năm 2005.KAKenneth Appel, 1976
7. 1859
   Giả thuyết RiemannSố học và Lý thuyết số, Giải tích. Hàm zeta mã hoá sự phân bố của số nguyên tố: các không điểm của nó khống chế số hạng sai số trong hàm đếm số nguyên tố $\pi(x)$. Năm 1859, Riemann nhận thấy mọi không điểm không tầm thường mà ông tính được đều nằm trên đường thẳng tới hạn $\mathrm{Re}(s)=\tfrac12$, và đặt giả thuyết rằng điều này luôn đúng. Một chứng minh sẽ cho dạng mạnh nhất có thể của định lý số nguyên tố; hàng tỷ không điểm đã được kiểm tra bằng máy tính và đều nằm trên đường này, nhưng chưa có chứng minh hay phản chứng nào. Đây là một trong bảy Bài toán thiên niên kỷ của Viện Clay.MillenniumHilbert #8Còn mở
8. 1876
   Bài toán BrocardSố học và Lý thuyết số. Được Henri Brocard đặt ra năm 1876 rồi nhắc lại năm 1885, và được Srinivasa Ramanujan nêu độc lập năm 1913, bài toán hỏi khi nào $n! + 1$ là một số chính phương $m^2$. Các cặp $(n, m)$ thỏa mãn phương trình được gọi là các số Brown; hiện chỉ biết đúng ba nghiệm: $4! + 1 = 5^2$, $5! + 1 = 11^2$ và $7! + 1 = 71^2$. Paul Erdős dự đoán rằng không còn nghiệm nào khác. Dưới giả thuyết $abc$, Marius Overholt chứng minh năm 1993 rằng chỉ có hữu hạn nghiệm, và các tìm kiếm máy tính đã kiểm tra tới $n = 10^{15}$ mà không tìm thấy nghiệm thứ tư.Còn mở
9. 1878
   Giả thuyết continuumNền tảng toán học. Cantor chứng minh tập số thực không đếm được, nên bản số $2^{\aleph_0}$ của nó thực sự lớn hơn bản số $\aleph_0$ của tập số nguyên. Giả thuyết continuum (CH) hỏi liệu $2^{\aleph_0}$ có đúng là bản số kế tiếp $\aleph_1$ hay không. Gödel (1940) chứng minh CH không thể bị bác bỏ từ hệ tiên đề ZFC chuẩn, còn Cohen (1963) chứng minh CH cũng không thể được chứng minh, bằng phương pháp ép (forcing) mới do ông phát minh. Vì vậy CH độc lập với ZFC: cả CH lẫn phủ định của nó đều nhất quán với các tiên đề thông thường của lý thuyết tập hợp, nên câu hỏi này không có lời giải chỉ trong khuôn khổ ZFC.Hilbert #1KGKurt Gödel, 1963
10. 1882
    Tính vô tỉ của e + π và e·πSố học và Lý thuyết số. Charles Hermite chứng minh năm 1873 rằng $e$ là số siêu việt, và Ferdinand von Lindemann chứng minh năm 1882 rằng $\pi$ là số siêu việt. Vì $(x - e)(x - \pi) = x^2 - (e + \pi)x + e\pi$, hai số $e$ và $\pi$ là nghiệm của một tam thức bậc hai có các hệ số là $-(e + \pi)$ và $e\pi$. Do nghiệm của đa thức có hệ số đại số cũng phải là số đại số, $e + \pi$ và $e\pi$ không thể đồng thời là số đại số: ít nhất một trong hai số $e + \pi$ và $e\pi$ là số siêu việt (và do đó là số vô tỉ). Thế nhưng cho tới nay vẫn hoàn toàn chưa biết từng số $e + \pi$ hay $e\pi$ riêng lẻ có phải là số vô tỉ hay không.Còn mở
11. 1892
    Bài toán Galois ngượcĐại số. Bắt nguồn từ đại số thế kỷ 19 và được hình thức hóa bởi David Hilbert (1892) cùng Emmy Noether (1918), bài toán Galois ngược hỏi liệu mọi nhóm hữu hạn có phải là nhóm Galois trên $\mathbb{Q}$ hay không. Bài toán đã được giải cho mọi nhóm giải được (Shafarevich 1954) và cả 26 nhóm đơn bất thường, nhưng vẫn còn mở trong trường hợp tổng quát.Còn mở
12. 1893
    Giả thuyết HadamardTổ hợp và Toán rời rạc, Đại số. Liệu một ma trận trực giao cấp $n \times n$ với các phần tử $\pm 1$ có luôn tồn tại với mọi bội số của $4$ hay không? Bắt nguồn từ Sylvester (1867), định lý định thức cực đại của Hadamard (1893) và các phép dựng trên trường hữu hạn của Paley (1933), giả thuyết tổng quát vẫn còn mở dù các tìm kiếm có máy tính và AI hỗ trợ đã dựng được ma trận Hadamard cho mọi bội của $4$ đến $2000$.Còn mở

Thế kỷ 20

1. 1900
   Bài toán thứ bảy của HilbertSố học và Lý thuyết số. Được chứng minh độc lập năm 1934 bởi Aleksandr Gelfond và Theodor Schneider: bất cứ khi nào $\alpha \ne 0, 1$ là số đại số và $\beta$ là số vô tỷ đại số thì $\alpha^\beta$ là số siêu việt — giải quyết cùng lúc hai ví dụ $2^{\sqrt{2}}$ và $e^\pi = (-1)^{-i}$ của Hilbert.Hilbert #7Đã giải
2. 1900
   Bài toán thứ mười sáu của HilbertPhương trình vi phân và Hệ động lực, Hình học. Hỏi về các cách sắp xếp có thể có của các đường trái xoan của một đường cong đại số thực bậc $n$ và một chặn đều $H(n)$ cho số chu trình giới hạn của trường vectơ đa thức bậc $n$ trên mặt phẳng. Mỗi hệ đa thức riêng lẻ chỉ có hữu hạn chu trình giới hạn (Ilyashenko 1991; Écalle 1992), nhưng việc $H(n) < \infty$ hay không vẫn còn để ngỏ ngay cả với $n = 2$.Hilbert #16Smale #13Còn mở
3. 1900
   Bài toán thứ sáu của HilbertVật lý toán. Hilbert yêu cầu cả nền tảng tiên đề cho xác suất và cơ học lẫn phép suy dẫn chặt chẽ các phương trình chất lưu vĩ mô từ va chạm hạt vi mô. Kolmogorov đã tiên đề hóa xác suất năm 1933, và năm 2025 Deng, Hani cùng Ma đã suy ra phương trình Boltzmann thời gian dài và các phương trình chất lưu từ động lực học quả cầu cứng, trong khi việc tiên đề hóa toàn bộ vật lý hiện đại vẫn còn để ngỏ.Hilbert #6Giải một phần
4. 1900
   Bài toán thứ mười của HilbertNền tảng toán học, Số học và Lý thuyết số. Không có thuật toán nào, nói chung, có thể xác định liệu một phương trình Diophantus có nghiệm nguyên hay không — bài toán thứ mười của Hilbert có câu trả lời phủ định.Hilbert #10YMYuri Matiyasevich, 1970
5. 1900
   Bài toán thứ ba của HilbertHình học. Mọi cặp đa giác có cùng diện tích đều có thể cắt thành hữu hạn mảnh rồi ghép lại thành nhau, nhưng Max Dehn đã chứng minh năm 1900 rằng kết quả tương tự ở 3 chiều là sai: một hình lập phương và một tứ diện đều có cùng thể tích nhưng có bất biến Dehn khác nhau trong $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ nên không bao giờ cắt-ghép được thành nhau.Hilbert #3Đã giải
6. 1900
   Bài toán thứ mười hai của HilbertSố học và Lý thuyết số. Yêu cầu tìm các phần tử sinh giải tích tường minh cho mọi mở rộng abel của một trường số $K$, tổng quát hóa cách các căn đơn vị $\exp(2\pi i/n)$ sinh ra $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$. Đã được giải cho trường bậc hai ảo nhờ phép nhân phức và cho trường thực toàn phần theo nghĩa $p$-adic bởi Dasgupta và Kakde (2021–2023), trong khi bài toán giải tích phức tổng quát vẫn còn để ngỏ.Hilbert #12Còn mở
7. 1900
   Xếp cầu trong không gian 8 chiều và 24 chiềuHình học. Mạng $E_8$ trong $\mathbb{R}^8$ và mạng Leech $\Lambda_{24}$ trong $\mathbb{R}^{24}$ đạt mật độ xếp cầu dày đặc nhất trong mọi cách sắp xếp tuần hoàn lẫn không tuần hoàn; được giải quyết vào tháng 3 năm 2016 bởi Maryna Viazovska (cho $n=8$) và Cohn, Kumar, Miller, Radchenko, Viazovska (cho $n=24$).Đã giải
8. 1902
   Bài toán BurnsideĐại số. Do William Burnside đặt ra năm 1902, bài toán tách thành ba nhánh lớn: Bài toán Burnside tổng quát có câu trả lời phủ định (Golod–Shafarevich 1964), Bài toán Burnside bị chặn đúng với $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ và sai với số mũ lớn (Novikov–Adian 1968; Ivanov 1994; Lysenok 1996) nhưng vẫn mở cho các số mũ nhỏ như $n = 5$, còn Bài toán Burnside thu hẹp đúng với mọi số mũ (Zelmanov 1989–1990).Giải một phần
9. 1904
   Giả thuyết PoincaréTô pô, Hình học. Mọi đa tạp $3$ chiều đóng, đơn liên đều đồng phôi với mặt cầu $3$ chiều $S^3$ — do Henri Poincaré đặt ra năm 1904 và được Grigori Perelman chứng minh năm 2002–2003 bằng dòng Ricci có phẫu thuật, là Bài toán thiên niên kỷ duy nhất của Viện Clay đã được giải quyết.MillenniumGPGrigori Perelman, 2003
10. 1904
    Sự vô hạn của số nguyên tố Sophie GermainSố học và Lý thuyết số. Một số nguyên tố $p$ mà $2p+1$ cũng là số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Sophie Germain, và số đi kèm $2p+1$ được gọi là số nguyên tố an toàn. Sophie Germain đưa ra các số nguyên tố này vào đầu thế kỷ 19 để chứng minh trường hợp thứ nhất của Định lý lớn Fermat cho các số mũ như vậy. Dù số nguyên tố an toàn được dùng rộng rãi trong mật mã khoá công khai (như trao đổi khoá Diffie–Hellman) và các ví dụ khổng lồ hàng trăm nghìn chữ số đã được tìm thấy bằng máy tính, sự vô hạn của số nguyên tố Sophie Germain vẫn chưa được chứng minh. Giả thuyết này là trường hợp riêng của giả thuyết Dickson và giả thuyết H của Schinzel, đồng thời Hardy và Littlewood đã đưa ra công thức tiệm cận định lượng theo trực giác cho mật độ của chúng.Còn mở
11. 1908
    Giả thuyết LindelöfSố học và Lý thuyết số, Giải tích. Được nhà toán học Phần Lan Ernst Leonard Lindelöf phát biểu năm 1908, giả thuyết Lindelöf khẳng định rằng trên đường thẳng tới hạn $\mathrm{Re}(s) = \tfrac{1}{2}$, hàm zeta Riemann tăng chậm hơn bất kỳ luỹ thừa dương nào của $t$. Nguyên lý lồi Phragmén–Lindelöf kết hợp với phương trình hàm cho chặn lồi cơ sở $\mu(\tfrac{1}{2}) \le \tfrac{1}{4}$. Dù giả thuyết Riemann suy ra giả thuyết Lindelöf (và thậm chí chặn chặt hơn $|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)| \ll \exp(C \log t / \log\log t)$), bản thân giả thuyết Lindelöf đã đủ mạnh để suy ra giả thuyết mật độ cho các không điểm của $\zeta(s)$ và định lý số nguyên tố tiệm cận trong các khoảng ngắn $[x, x+x^{1/2+\varepsilon}]$.Còn mở
12. 1909
    Tính chuẩn tắc của số πSố học và Lý thuyết số, Xác suất và Thống kê. Émile Borel đưa ra khái niệm số chuẩn tắc năm 1909 và dùng bổ đề Borel–Cantelli chứng minh hầu hết các số thực (theo độ đo Lebesgue) đều chuẩn tắc trong mọi cơ số nguyên $b \ge 2$. Tuy nhiên, việc chứng minh tính chuẩn tắc cho bất kỳ hằng số tự nhiên nào không được ghép nhân tạo từ các khối chữ số lại vô cùng khó khăn. Với $\pi$, hàng chục nghìn tỉ chữ số thập phân và thập lục phân đã được tính toán và đều vượt qua các kiểm định thống kê cho tần suất đều $10^{-k}$, đồng thời công thức Bailey–Borwein–Plouffe (BBP) năm 1996 kết nối tính chuẩn tắc cơ số $16$ của $\pi$ với tính phân bố đều của một ánh xạ hỗn loạn, nhưng hiện vẫn chưa biết liệu mỗi chữ số $0, 1, \dots, 9$ có xuất hiện vô hạn lần trong khai triển thập phân của $\pi$ hay không.Còn mở
13. 1910
    Bài toán tháo nút (độ phức tạp nhận diện nút tầm thường)Tô pô, Toán ứng dụng và Tính toán. Được Wolfgang Haken chứng minh là quyết định được vào năm 1961 và nay được biết vô điều kiện là nằm trong lớp $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$ cùng thuật toán tựa đa thức $n^{O(\log n)}$ do Marc Lackenby công bố năm 2021, trong khi câu hỏi liệu bài toán có thuộc $\mathsf{P}$ hay không vẫn đang mở.Giải một phần
14. 1911
    Bài toán hình vuông nội tiếp (Toeplitz)Hình học, Tô pô. Mọi đường khép kín đơn liên tục trong mặt phẳng có luôn chứa bốn đỉnh của một hình vuông hay không? Đã chứng minh cho đường cong trơn, giải tích từng khúc và đơn điệu địa phương, đồng thời mở rộng cho mọi hình chữ nhật trên đường cong trơn (Greene–Lobb, 2020), nhưng vẫn còn mở cho đường cong Jordan liên tục tổng quát.Còn mở
15. 1912
    Số nguyên tố dạng n² + 1 (bài toán thứ tư của Landau)Số học và Lý thuyết số. Định lý Dirichlet bảo đảm có vô hạn số nguyên tố trong mọi cấp số cộng tuyến tính nguyên tố cùng nhau $an + b$, thế nhưng chưa một đa thức một biến bậc từ hai trở lên nào được chứng minh là nhận vô hạn giá trị nguyên tố. Được Edmund Landau nêu năm 1912 làm bài thứ tư trong các bài toán về số nguyên tố của ông, trường hợp $n^2 + 1$ vẫn còn để ngỏ; kết quả vô điều kiện gần nhất là định lý năm 1978 của Iwaniec rằng $n^2 + 1$ là tích của tối đa hai số nguyên tố vô hạn lần.Landau #4Còn mở
16. 1916
    Giả thuyết BieberbachGiải tích. Mọi hàm chỉnh hình đơn diệp chuẩn hóa $f(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n$ trên hình tròn đơn vị mở đều thỏa mãn $|a_n| \le n$ với mọi $n \ge 2$ (định lý de Branges).Đã giải
17. 1917
    Giả thuyết KakeyaGiải tích, Hình học. Một tập trong $\mathbb{R}^n$ chứa một đoạn thẳng đơn vị theo mọi hướng có thể có độ đo không, nhưng phải có số chiều Hausdorff đầy đủ bằng $n$: đã chứng minh cho $n=2$ (Davies, 1971) và trong một preprint đột phá năm 2025 cho $n=3$ (Wang–Zahl), còn $n \ge 4$ vẫn mở.Giải một phần
18. 1917
    Bài toán không có ba điểm thẳng hàng trên lướiTổ hợp và Toán rời rạc, Hình học. Có thể đặt tối đa bao nhiêu điểm trên lưới $n \times n$ sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng? Theo nguyên lý Dirichlet, mỗi hàng chứa tối đa $2$ điểm nên $f(n) \le 2n$; Henry Dudeney đặt bài toán bàn cờ $n = 8$ năm 1917, và dù $f(n) = 2n$ đúng với mọi $n \le 74$ đã kiểm tra, các phép dựng tổng quát tốt nhất cho $n$ lớn mới chỉ đạt $(3/2 - o(1))n$.Còn mở
19. 1920
    Bài toán SuslinNền tảng toán học. Được công bố sau khi Mikhail Suslin qua đời vào năm 1920, câu hỏi đặt vấn đề liệu tính khả ly trong đặc trưng của Cantor cho $(\mathbb{R}, <)$ có thể làm yếu đi thành điều kiện xích đếm được hay không. Các công trình của Jech, Tennenbaum, Jensen và Solovay–Tennenbaum (1967–1971) đã chứng minh giả thuyết Suslin độc lập với ZFC.Độc lập với tiên đề
20. 1927
    Giả thuyết Artin về căn nguyên thuỷSố học và Lý thuyết số, Đại số. Một số nguyên $a$ là căn nguyên thuỷ modulo số nguyên tố $p$ nếu các luỹ thừa của nó sinh ra toàn bộ nhóm nhân $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ cấp $p-1$. Năm 1927, Emil Artin nêu với Helmut Hasse rằng mọi số nguyên $a \ne -1$ không phải số chính phương đều sinh ra $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ cho một tỷ lệ dương các số nguyên tố $p$, tuân theo một tích Euler trực giác. Các tính toán sau đó của Lehmer đã phát hiện các hiệu chỉnh vướng víu nhỏ khi phần không có ước chính phương của $a$ đồng dư với $1 \pmod{4}$, và Heilbronn đã chỉnh lại công thức mật độ. Christopher Hooley chứng minh giả thuyết đã hiệu chỉnh vào năm 1967 dưới Giả thuyết Riemann tổng quát, và D. R. Heath-Brown chứng minh vô điều kiện vào năm 1986 rằng có nhiều nhất hai cơ số nguyên tố có thể thất bại — thế nhưng chưa một cơ số cụ thể $a$ nào được chứng minh vô điều kiện.Còn mở
21. 1930
    Giả thuyết LittlewoodSố học và Lý thuyết số. Ở một chiều, các số khó xấp xỉ $\alpha$ thỏa mãn $\liminf_{n \to \infty} n \, \|n\alpha\| > 0$; các số vô tỉ bậc hai như $\sqrt{2}$ là ví dụ kinh điển. Khoảng năm 1930, J. E. Littlewood dự đoán rằng ở hai chiều không còn rào cản đồng thời như vậy: khi nhân hai sai số xấp xỉ $\|n\alpha\|$ và $\|n\beta\|$ với nhau, tích $n \, \|n\alpha\| \, \|n\beta\|$ luôn có thể nhỏ tùy ý. Năm 2006, Manfred Einsiedler, Anatole Katok và Elon Lindenstrauss dùng hệ động lực thuần nhất chứng minh tập các phản ví dụ nếu có chỉ có số chiều Hausdorff bằng $0$, nhưng việc tập ngoại lệ có rỗng hoàn toàn hay không vẫn còn mở.Còn mở
22. 1930
    Giá trị của số Ramsey R(5,5)Tổ hợp và Toán rời rạc. Trong khi $R(3, 3) = 6$ và $R(4, 4) = 18$ đã được xác định chính xác, số Ramsey đường chéo thứ năm $R(5, 5)$ vẫn chưa được biết sau gần một thế kỷ của lý thuyết Ramsey, hiện được kẹp trong khoảng bốn số nguyên $43 \le R(5, 5) \le 46$.Còn mở
23. 1932
    Bài toán độ lệch ErdősTổ hợp và Toán rời rạc, Số học và Lý thuyết số. Mọi dãy $\pm 1$ vô hạn đều có tổng riêng lớn tùy ý dọc theo một cấp số cộng thuần nhất $d, 2d, \dots, nd$ nào đó; được Terence Tao chứng minh năm 2015.ErdősTTTerence Tao, 2015
24. 1933
    Bài toán phân hoạch BorsukHình học. Phỏng đoán năm 1933 của Borsuk rằng mọi tập bị chặn trong $\mathbb{R}^n$ đều chia được thành $n+1$ phần có đường kính nhỏ hơn là đúng với $n \le 3$ nhưng đã bị Jeff Kahn và Gil Kalai bác bỏ ở số chiều cao năm 1993, với các phản ví dụ nay đã hạ xuống tới $n = 64$ (cùng một bản thảo preprint năm 2026 cho $n = 63$).Đã bác bỏ
25. 1933
    Bài toán độ đo Mahler của LehmerSố học và Lý thuyết số, Đại số. Với đa thức hệ số nguyên $P(x) = a_d \prod_{i=1}^d (x - \alpha_i)$, độ đo Mahler được định nghĩa là $M(P) = |a_d| \prod_{i=1}^d \max(1, |\alpha_i|)$. Theo định lý Kronecker, $M(P) = 1$ khi và chỉ khi $P(x)$ là tích của các đa thức chia đường tròn và lũy thừa của $x$. Năm 1933, D. H. Lehmer tìm ra một đa thức bậc $10$ có độ đo Mahler $\lambda \approx 1.1762808$ và đặt câu hỏi liệu có đa thức hệ số nguyên nào có độ đo Mahler nằm thực sự giữa $1$ và $\lambda$ hay không. Dù đã có các cận dưới mạnh cho nhiều lớp đa thức đặc biệt và kiểm tra vét cạn bằng máy tính tới bậc $44$, câu hỏi tổng quát vẫn còn mở.Còn mở
26. 1935
    Bài toán kết thúc có hậu (Erdős–Szekeres)Tổ hợp và Toán rời rạc, Hình học. Cần bao nhiêu điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng để chắc chắn có một đa giác lồi $n$ đỉnh? Được Esther Klein nêu ra với $n = 4$ vào năm 1933 — dẫn đến đám cưới của bà với George Szekeres và tên gọi "Bài toán kết thúc có hậu" do Paul Erdős đặt — giá trị chính xác được phỏng đoán $\mathrm{ES}(n) = 2^{n-2} + 1$ mới chỉ được chứng minh cho $n \le 6$, dù Andrew Suk đã chứng minh tiệm cận $\mathrm{ES}(n) = 2^{n + o(n)}$ vào năm 2016.ErdősCòn mở
27. 1936
    Giả thuyết Cramér về khoảng cách giữa các số nguyên tốSố học và Lý thuyết số, Xác suất và Thống kê. Theo định lý số nguyên tố, khoảng cách trung bình giữa các số nguyên tố liên tiếp gần $x$ là $\log x$. Năm 1936, Harald Cramér đưa ra mô hình xác suất trong đó mỗi số nguyên $n \ge 3$ được coi là 'nguyên tố' một cách độc lập với xác suất $1/\log n$, và chứng minh rằng với xác suất $1$, các khoảng cách cực đại trong dãy ngẫu nhiên này tăng cỡ $(\log x)^2$. Dù Andrew Granville chỉ ra vào năm 1995 rằng tính chia hết cục bộ cho các số nguyên tố nhỏ gợi ý giới hạn trên đúng phải ít nhất là $2e^{-\gamma} \approx 1.1229$ thay vì $1$, chặn bậc độ lớn $g_n = O((\log p_n)^2)$ vẫn được tin tưởng rộng rãi và vượt xa các phương pháp hiện nay — ngay cả giả thuyết Riemann cũng chỉ cho $g_n = O(\sqrt{p_n}\log p_n)$.Còn mở
28. 1937
    Giả thuyết CollatzSố học và Lý thuyết số, Phương trình vi phân và Hệ động lực. Chia đôi số chẵn, nhân ba cộng một với số lẻ: mọi số nguyên dương được cho là sẽ luôn về 1, nhưng chưa ai chứng minh được, dù máy tính đã kiểm tra hàng chục năm.Còn mở
29. 1939
    Giả thuyết JacobiĐại số, Giải tích. Hỏi liệu mọi ánh xạ đa thức $k^n \to k^n$ trên trường đặc số không với định thức Jacobi hằng khác không đều có ánh xạ ngược đa thức hay không; đã bị bác bỏ với $n \ge 3$ năm 2026 trong khi trường hợp phẳng $n = 2$ vẫn còn mở.Smale #16Giải một phần
30. 1941
    Giả thuyết Erdős–Turán về cơ sở cộng tínhSố học và Lý thuyết số, Tổ hợp và Toán rời rạc. Nếu một tập số tự nhiên cuối cùng phủ hết mọi số nguyên qua tổng từng đôi (một cơ sở tiệm cận bậc $2$), liệu có phải luôn tồn tại những số nguyên có số cách biểu diễn tùy ý lớn thành tổng của hai phần tử? Được Paul Erdős và Pál Turán nêu năm 1941, giả thuyết $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) = \infty$ đến nay vẫn còn mở.ErdősCòn mở
31. 1941
    Giả thuyết tái thiết đồ thịTổ hợp và Toán rời rạc. Liệu mọi đồ thị đơn hữu hạn có ít nhất $3$ đỉnh có được xác định duy nhất sai khác phép đẳng cấu bởi đa tập các đồ thị con xóa một đỉnh của nó hay không? Được Paul J. Kelly và Stanisław Ulam đặt ra năm 1941, giả thuyết đã được chứng minh cho cây, đồ thị chính quy, đồ thị không liên thông và hầu hết mọi đồ thị, nhưng vẫn còn mở trong trường hợp tổng quát.Còn mở
32. 1943
    Giả thuyết Hadwiger (minors đồ thị)Tổ hợp và Toán rời rạc. Liệu $\chi(G) \ge t$ có buộc đồ thị $G$ phải chứa đồ thị đầy đủ $K_t$ làm một minor? Được Hugo Hadwiger nêu năm 1943 như một tổng quát hóa sâu rộng của định lý bốn màu, giả thuyết đã được chứng minh cho $t \le 6$ (Robertson, Seymour và Thomas, 1993) và vẫn còn mở với mọi $t \ge 7$.Còn mở
33. 1946
    Bài toán khoảng cách đơn vị của ErdősHình học, Tổ hợp và Toán rời rạc. Có tối đa bao nhiêu cặp trong $n$ điểm trên mặt phẳng cách nhau một khoảng bằng $1$? Bị chặn trên bởi $O(n^{4/3})$, trong khi một cấu trúc lý thuyết số năm 2026 đã bác bỏ giả thuyết $n^{1+o(1)}$ của Erdős bằng cách chứng minh $u(n) = \Omega(n^{1+c})$.ErdősCòn mở
34. 1948
    Giả thuyết Erdős–StrausSố học và Lý thuyết số. Được Paul Erdős và Ernst G. Straus phát biểu năm 1948, giả thuyết phân số Ai Cập này hỏi liệu $4/n$ có luôn viết được thành tổng nghịch đảo của ba số nguyên dương hay không. Vì mọi phân tích cho ước $d \mid n$ đều nhân tỷ lệ thành phân tích cho $n$, chỉ cần chứng minh bài toán khi $n = p$ là số nguyên tố. Các hằng đẳng thức đại số đơn giản giải quyết ngay các số nguyên tố $p \not\equiv 1 \pmod{24}$, và các hệ phủ môđun lớn hơn loại trừ hầu hết các lớp thặng dư, cho phép máy tính kiểm tra tới $n = 10^{17}$, nhưng một hệ phủ hoàn chỉnh gồm hữu hạn hằng đẳng thức là không thể tồn tại.ErdősCòn mở
35. 1949
    Bài toán không gian con bất biếnGiải tích. Hỏi liệu mọi toán tử tuyến tính bị chặn trên một không gian Hilbert phức khả ly vô hạn chiều có luôn có một không gian con đóng bất biến không tầm thường hay không.Còn mở
36. 1949
    Số mũ tới hạn của bước đi tự tránhXác suất và Thống kê. Được Paul Flory đưa ra năm 1949 làm mô hình cho chuỗi polymer, bước đi tự tránh được các nhà vật lý phỏng đoán có các số mũ tới hạn phổ dụng ($\nu = 3/4$, $\gamma = 43/32$ ở $d = 2$; $\nu \approx 0.5876$ ở $d = 3$). Takashi Hara và Gordon Slade đã chứng minh chặt chẽ các giá trị trường trung bình $\nu = 1/2$, $\gamma = 1$ cho $d \ge 5$ vào năm 1992 nhờ khai triển ren, nhưng các số mũ vẫn chưa được chứng minh ở các chiều có ý nghĩa vật lý trung tâm $d = 2$ và $d = 3$.Còn mở
37. 1950
    Bài toán Hadwiger–NelsonTổ hợp và Toán rời rạc, Hình học. Cần bao nhiêu màu để tô mặt phẳng $\mathbb{R}^2$ sao cho không có hai điểm nào cách nhau một khoảng bằng $1$ có cùng màu? Được Edward Nelson nêu năm 1950 với cận cổ điển $4 \le \chi(\mathbb{R}^2) \le 7$, cận dưới đã được Aubrey de Grey nâng lên $5$ vào năm 2018, để lại ba khả năng mở $\chi(\mathbb{R}^2) \in \{5, 6, 7\}$.Còn mở
38. 1950
    Bài toán tam giác HeilbronnHình học. Tam giác nhỏ nhất tạo bởi $n$ điểm trong hình vuông đơn vị có thể lớn tới mức nào? Phỏng đoán gốc $O(1/n^2)$ của Heilbronn đã bị bác bỏ năm 1981 ($\Delta(n) = \Omega(\log n / n^2)$), và trong giai đoạn 2023–2024 Cohen, Pohoata và Zakharov đã phá kỷ lục cận trên tồn tại 40 năm để chứng minh $\Delta(n) \le n^{-7/6 + o(1)}$.Còn mở
39. 1950
    Giả thuyết HodgeHình học, Đại số. Lớp Hodge là những lớp đối đồng điều mà cấu trúc phức của một đa tạp đánh dấu là 'có dạng hình học'; giả thuyết hỏi liệu mỗi lớp như vậy có thực sự đến từ một đa tạp con đại số thật hay không. Đã biết đúng ở đối chiều 1 từ năm 1924 (Lefschetz) và cho đa tạp abel tới chiều 5, đây là một trong bảy Bài toán thiên niên kỷ của Viện Clay và vẫn còn mở trong trường hợp tổng quát.MillenniumCòn mở
40. 1950
    Bài toán WhiteheadNền tảng toán học, Đại số. Do J. H. C. Whitehead đặt ra năm 1950 trong đại số đồng điều, câu hỏi đặt vấn đề liệu mọi nhóm giao hoán $A$ thỏa $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(A, \mathbb{Z}) = 0$ có đều tự do hay không. Năm 1974, Saharon Shelah chứng minh câu trả lời độc lập với ZFC: khẳng định đúng trong vũ trụ khả kiến tạo $V = L$ của Gödel nhưng sai dưới Tiên đề Martin kết hợp $\neg\text{CH}$.Độc lập với tiên đề
41. 1957
    Các giả thuyết Kaplansky về vành nhómĐại số. Bắt nguồn từ luận án năm 1940 của Graham Higman và được Irving Kaplansky phổ biến tại hội nghị Shelter Island năm 1956, các giả thuyết này đề xuất rằng vành nhóm của các nhóm không xoắn có cấu trúc gọn gàng như một miền nguyên. Vào tháng 2 năm 2021, Giles Gardam bác bỏ giả thuyết đơn vị bằng một đơn vị tường minh trong $\mathbb{F}_2[P]$ với $P$ là nhóm Promislow, sau đó mở rộng sang mọi đặc số; các giả thuyết ước của không và lũy đẳng vẫn còn mở trong trường hợp tổng quát nhưng đã được chứng minh cho nhiều lớp nhóm.Giải một phần
42. 1957
    Tính liên tục của chuyển pha trong thấm lọc 3 chiềuXác suất và Thống kê. Broadbent và Hammersley đưa ra khái niệm thấm lọc năm 1957 để mô hình hóa dòng chảy chất lỏng qua môi trường ngẫu nhiên; việc xác suất thấm lọc $\theta(p)$ không có bước nhảy tại điểm tới hạn $p_c$ (chuyển pha liên tục, 'bậc hai') đã được chứng minh ở chiều $2$ và cho $d \ge 11$ nhờ khai triển ren, nhưng vẫn là bài toán mở nổi tiếng cho trường hợp có ý nghĩa vật lý $d = 3$.Còn mở
43. 1958
    Giả thuyết H của Schinzel và giả thuyết BunyakovskySố học và Lý thuyết số. Viktor Bunyakovsky đặt giả thuyết năm 1857 rằng một đa thức nguyên bất khả quy $f(x)$ với hệ số bậc cao nhất dương và không có ước nguyên tố cố định sẽ biểu diễn vô hạn số nguyên tố; một thế kỷ sau, Andrzej Schinzel và Wacław Sierpiński mở rộng điều này vào năm 1958 cho các họ hữu hạn đa thức như vậy (Giả thuyết H). Trường hợp duy nhất đã được chứng minh hoàn toàn là một đa thức bậc nhất đơn lẻ ($k=1, \deg f_1 = 1$), tức định lý Dirichlet về cấp số cộng. Giả thuyết H thống nhất nhiều bài toán mở sâu sắc nhất của lý thuyết số nguyên tố: $f_1(x)=x, f_2(x)=x+2$ cho giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, $f_1(x)=x, f_2(x)=2x+1$ cho sự vô hạn của số nguyên tố Sophie Germain, và $f_1(x)=x^2+1$ cho bài toán thứ tư của Landau.Còn mở
44. 1958
    Giả thuyết SendovGiải tích. Hỏi liệu mọi nghiệm của một đa thức phức trong hình tròn đơn vị đóng có luôn cách ít nhất một điểm tới hạn một khoảng không quá $1$ hay không; đã được chứng minh với bậc $n \le 8$ và với mọi bậc đủ lớn $n \ge n_0$.Giải một phần
45. 1959
    Bài toán Kadison–SingerGiải tích. Mọi trạng thái thuần khiết trên đại số con đường chéo $\ell^\infty(\mathbb{N})$ đều thác triển duy nhất thành một trạng thái thuần khiết trên $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$, được chứng minh năm 2013 bằng các họ đa thức đan xen.Đã giải
46. 1960
    Bài toán bất biến Kervaire bằng mộtTô pô. Đa tạp trơn đóng có khung với bất biến Kervaire bằng một tồn tại ở các chiều $2, 6, 14, 30, 62$, và (theo một preprint năm 2024) $126$, và không tồn tại ở bất kỳ chiều nào cao hơn.Đã giải
47. 1960
    Giả thuyết Sato–TateSố học và Lý thuyết số. Số điểm $\#E(\mathbb{F}_p)$ của một đường cong elliptic không có phép nhân phức dao động quanh $p + 1$ như thế nào khi $p$ thay đổi? Được Mikio Sato và John Tate độc lập đề xuất khoảng năm 1960, giả thuyết rằng các góc Frobenius chuẩn hóa tuân theo phân bố $\frac{2}{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta$ đã được giải quyết trọn vẹn trong giai đoạn 2008–2011 bởi Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor, Barnet-Lamb và Geraghty.Đã giải
48. 1960
    Giả thuyết hoa hướng dương Erdős–RadoTổ hợp và Toán rời rạc. Một họ gồm các tập có tối đa $w$ phần tử có thể lớn tới mức nào nếu không chứa $r$ tập có giao từng đôi hoàn toàn trùng nhau? Được Paul Erdős và Richard Rado nêu năm 1960 cùng cận giai thừa $w! (r - 1)^w$, bài toán đã có bước đột phá lịch sử năm 2019 nhờ Alweiss, Lovett, Wu và Zhang (sau được làm sắc thành $(C r \log w)^w$), nhưng cận hàm mũ thuần túy $C_r^w$ vẫn còn mở.ErdősCòn mở
49. 1961
    Giả thuyết Poincaré trơn bốn chiềuTô pô. Số chiều cuối cùng còn chưa có lời giải của giả thuyết Poincaré tổng quát trên mọi phạm trù: liệu mặt cầu $4$ chiều $S^4$ có chấp nhận cấu trúc trơn kỳ dị nào không, hay mọi mặt cầu đồng luân trơn $4$ chiều đều vi phôi với $S^4$?Còn mở
50. 1963
    Sự tồn tại của tập hút LorenzPhương trình vi phân và Hệ động lực. Chứng minh rằng hệ phương trình vi phân Lorenz cổ điển thực sự sở hữu một tập hút kỳ lạ hỗn loạn bền vững, giải quyết bài toán thứ 14 của Smale thông qua chứng minh có máy tính hỗ trợ chặt chẽ của Warwick Tucker.Smale #14Đã giải
51. 1963
    Giả thuyết Ringel (phân rã duyên dáng)Tổ hợp và Toán rời rạc. Mọi cây $n$ cạnh đều xếp khít $2n+1$ lần rời nhau theo cạnh vào đồ thị đầy đủ $K_{2n+1}$; được Montgomery, Pokrovskiy và Sudakov chứng minh cho mọi $n$ đủ lớn vào năm 2020.Đã giải
52. 1963
    Giả thuyết TateSố học và Lý thuyết số, Hình học. Do John Tate đề xuất tại hội nghị Woods Hole năm 1963, tương tự số học này của giả thuyết Hodge hỏi liệu mọi lớp đối đồng điều $\ell$-adic bất biến Galois có xuất phát từ một chu trình đại số hay không. Nó đã được chứng minh cho ước trên đa tạp abel trên trường hữu hạn (Tate 1966) và trường số (Faltings 1983) cùng mặt K3, nhưng vẫn còn mở cho các chu trình đối chiều cao hơn trên đa tạp tổng quát.Còn mở
53. 1964
    Giả thuyết Černý (ôtômat đồng bộ hóa)Tổ hợp và Toán rời rạc, Toán ứng dụng và Tính toán. Nếu một ôtômat hữu hạn có $n$ trạng thái có thể được đưa về một trạng thái duy nhất bất kể trạng thái xuất phát, thì từ đặt lại ngắn nhất trong trường hợp xấu nhất dài bao nhiêu? Ján Černý phỏng đoán năm 1964 rằng $(n-1)^2$ luôn đủ, nhưng các cận trên tổng quát tốt nhất hiện biết vẫn là bậc ba theo $n$.Còn mở
54. 1965
    Giả thuyết Birch và Swinnerton-DyerSố học và Lý thuyết số. Dự đoán hạng các điểm hữu tỷ của đường cong elliptic bằng bậc không điểm của hàm L tại s=1 — mới chứng minh được khi bậc đó là 0 hoặc 1.MillenniumCòn mở
55. 1966
    Bài toán einstein (viên gạch đơn không tuần hoàn)Hình học. Được giải quyết khẳng định vào năm 2023 khi David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan và Chaim Goodman-Strauss tìm ra đa giác 13 cạnh "cái mũ" (hat) và viên gạch đơn thuận nghịch chặt "Bóng ma" (Spectre).Đã giải
56. 1966
    Bài toán con sâu của MoserHình học. Hình phẳng có diện tích nhỏ nhất có thể phủ mọi đường cong độ dài $1$ qua phép quay và tịnh tiến là bao nhiêu? Diện tích tối tiểu vẫn chưa có lời giải, nằm giữa $0.232239$ và $\pi/12 \approx 0.2618$ đối với miền phủ lồi (và $0.260437$ đối với miền phủ không lồi).Còn mở
57. 1966
    Bài toán chuyển ghế sofaHình học, Toán ứng dụng và Tính toán. Hình phẳng hai chiều lớn nhất có thể xoay qua một khúc cua vuông góc trong hành lang rộng $1$ có diện tích bao nhiêu? Ghế sofa 18 đoạn cong của Gerver đạt diện tích $\approx 2.2195$, và một preprint đột phá tháng 11 năm 2024 của Jineon Baek đã công bố chứng minh tính tối ưu của nó.Còn mở
58. 1966
    Giả thuyết SchanuelSố học và Lý thuyết số, Đại số. Được Stephen Schanuel nêu trong một khóa học tại Yale thập niên 1960 và được công bố trong cuốn Introduction to Transcendental Numbers (1966) của Serge Lang, giả thuyết Schanuel là giả thuyết thống nhất trung tâm của lý thuyết số siêu việt cho hàm mũ. Giả thuyết này bao hàm định lý Lindemann–Weierstrass (khi $z_1, \dots, z_n$ là các số đại số), định lý Baker về tính độc lập tuyến tính của logarit các số đại số (khi $e^{z_1}, \dots, e^{z_n}$ là các số đại số) và định lý Gelfond–Schneider, đồng thời suy ra nhiều bài toán mở lớn như tính độc lập đại số của $e$ và $\pi$ cùng tính siêu việt của $e + \pi$, $e\pi$, $e^e$ và $\pi^e$. Hiện mới chỉ có trường hợp $n = 1$ (Hermite–Lindemann) và các trường hợp đặc biệt khi mọi $z_i$ hoặc mọi $e^{z_i}$ là đại số được chứng minh.Còn mở
59. 1967
    Giả thuyết cây duyên dángTổ hợp và Toán rời rạc. Liệu các đỉnh của mọi cây có $m$ cạnh có thể được gán nhãn bằng các số nguyên phân biệt từ $0$ đến $m$ sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu trên các cạnh nhận đủ mọi số nguyên từ $1$ đến $m$ hay không? Được Ringel, Kotzig và Rosa nêu ra vào thập niên 1960, giả thuyết vẫn còn mở dù đã được kiểm chứng tới $35$ đỉnh và giả thuyết phân rã Ringel đã được giải tiệm cận năm 2020.Còn mở
60. 1967
    Chương trình LanglandsSố học và Lý thuyết số, Đại số. Mạng lưới giả thuyết thống nhất vĩ đại kết nối lý thuyết số, lý thuyết biểu diễn và hình học đại số; đã được chứng minh cho $\mathrm{GL}_n$ trên trường hàm và trong bối cảnh hình học không phân nhánh (2024), trong khi luật thuận nghịch và tính hàm tử tổng quát trên trường số vẫn còn mở.Giải một phần
61. 1967
    Giả thuyết người chạy cô đơnTổ hợp và Toán rời rạc, Số học và Lý thuyết số. Được đặt ra độc lập bởi Jörg Wills (1967) và Thomas Cusick (1974), giả thuyết người chạy cô đơn hỏi liệu mỗi người chạy trên đường đua tròn với tốc độ không đổi khác nhau có luôn bị cô lập khỏi những người khác một khoảng cách ít nhất $\frac{1}{n}$ hay không. Giả thuyết đã được xác nhận cho $n \le 13$ người chạy qua một loạt các đột phá từ 2001 đến 2026, nhưng trường hợp tổng quát vẫn còn để ngỏ.Còn mở
62. 1968
    Giả thuyết Elliott–HalberstamSố học và Lý thuyết số, Giải tích. Giả thuyết Riemann tổng quát dự đoán rằng các số nguyên tố đến $x$ phân bố đều trong $\varphi(q)$ lớp thặng dư nguyên tố cùng nhau modulo $q$ với sai số cỡ căn bậc hai cho mọi môđun $q \le x^{1/2-\varepsilon}$. Năm 1965, Enrico Bombieri và A. I. Vinogradov chứng minh mức phân bố căn bậc hai $\theta = 1/2$ này đúng vô điều kiện khi lấy trung bình theo $q$. Năm 1968, Peter Elliott và Heini Halberstam đặt giả thuyết rằng khi lấy trung bình theo $q$, mức phân bố thực chất kéo dài tới mọi $\theta < 1$ — vượt qua cả những gì Giả thuyết Riemann tổng quát cho đối với từng môđun riêng lẻ. Giả thuyết này là đầu vào giải tích then chốt cho các phương pháp sàng hiện đại: Goldston, Pintz và Yıldırım, và sau đó là Maynard cùng Polymath8, đã chỉ ra rằng nó suy ra khoảng cách bị chặn giữa các số nguyên tố xuống tới $12$ (và $6$ dưới dạng tổng quát hoá của nó).Còn mở
63. 1968
    Giả thuyết Haken hầu khắpTô pô. Mọi đa tạp 3 chiều đóng, bất khả quy có nhóm cơ bản vô hạn đều có một phủ hữu hạn lá chứa một mặt không nén được nhúng trong đó.Đã giải
64. 1969
    Các giả thuyết chuẩn của Grothendieck về chu trình đại sốHình học, Đại số. Được Alexander Grothendieck phát biểu năm 1968 làm khung cho một lý thuyết mô-típ, các giả thuyết chuẩn đề xuất những tính chất cấu trúc sâu sắc liên kết chu trình đại số với đối đồng điều. Chúng đã được chứng minh cho đường cong, mặt, đa tạp abel và một số đa tạp siêu Kähler, nhưng vẫn còn mở cho đa tạp xạ ảnh trơn tổng quát, dù chứng minh giả thuyết Weil của Deligne năm 1974 đã tránh dùng đến chúng.Còn mở
65. 1969
    Số mũ nhân ma trận $\omega$Toán ứng dụng và Tính toán, Đại số. Kể từ khi Strassen chứng minh năm 1969 rằng $\omega < \log_2 7 \approx 2.8074$, các cải tiến liên tiếp của phương pháp laser đã hạ cận trên xuống $\omega < 2.371177$, trong khi cận dưới hiển nhiên $\omega \ge 2$ vẫn chưa dịch chuyển; đa số nhà nghiên cứu phỏng đoán $\omega = 2$.Còn mở
66. 1971
    Độ phức tạp của bài toán đẳng cấu đồ thịToán ứng dụng và Tính toán, Tổ hợp và Toán rời rạc. Hỏi liệu bài toán Đẳng cấu Đồ thị có thể giải được trong thời gian đa thức ($\mathsf{P}$) hay không; László Babai đã chứng minh trong giai đoạn 2015–2017 rằng bài toán giải được trong thời gian tựa đa thức $\exp((\log n)^{O(1)})$.Còn mở
67. 1971
    Bài toán P đối NPToán ứng dụng và Tính toán, Nền tảng toán học. Hỏi liệu mọi bài toán mà lời giải kiểm tra nhanh được có luôn giải nhanh được hay không — câu hỏi trung tâm của lý thuyết độ phức tạp tính toán, mang giải thưởng Clay Millennium.MillenniumCòn mở
68. 1972
    Giả thuyết Erdős–Faber–LovászTổ hợp và Toán rời rạc. Hợp của $n$ clique cỡ $n$ đôi một chung tối đa một đỉnh có luôn tô màu đỉnh hợp lệ được bằng $n$ màu hay không? Được Paul Erdős, Vance Faber và László Lovász đặt ra năm 1972, giả thuyết đã được Kang, Kelly, Kühn, Methuku và Osthus chứng minh cho mọi $n$ đủ lớn vào năm 2021 (xuất bản trên *Annals of Mathematics* năm 2023), trong khi các trường hợp nhỏ $n \le 12$ đã được kiểm chứng bằng máy tính và các giá trị trung gian vẫn còn mở.ErdősĐã giải
69. 1973
    Giả thuyết Erdős về cấp số cộngSố học và Lý thuyết số, Tổ hợp và Toán rời rạc. Nếu tổng các nghịch đảo $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$, liệu tập $A$ có buộc phải chứa các cấp số cộng dài tùy ý? Đã được chứng minh cho $k = 3$ bởi Thomas Bloom và Olof Sisask (2020), còn mọi độ dài $k \ge 4$ vẫn đang mở.ErdősCòn mở
70. 1977
    Giả thuyết Erdős–HajnalTổ hợp và Toán rời rạc. Trong khi một đồ thị $n$ đỉnh tổng quát chỉ đảm bảo chứa clique hoặc tập độc lập cỡ logarit $\Theta(\log n)$, Paul Erdős và András Hajnal phỏng đoán năm 1977 rằng việc cấm một đồ thị con cảm sinh cố định $H$ bất kỳ sẽ buộc phải có clique hoặc tập độc lập cỡ đa thức $n^{\delta_H}$.ErdősCòn mở
71. 1979
    Giả thuyết họ tập đóng với phép hợp (Frankl)Tổ hợp và Toán rời rạc. Trong mọi họ tập hữu hạn đóng với phép hợp $\mathcal{F} \neq \{\emptyset\}$, liệu có phải luôn có một phần tử xuất hiện trong ít nhất $\frac{1}{2}$ số tập? Được Péter Frankl nêu năm 1979, giả thuyết đón nhận bước đột phá lớn năm 2022 khi Justin Gilmer dùng entropy Shannon chứng minh cận dưới hằng số đầu tiên ($0.01$, nhanh chóng được nâng lên $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382$), trong khi mốc $\frac{1}{2}$ vẫn còn mở.Còn mở
72. 1982
    Tính liên thông địa phương của tập Mandelbrot (MLC)Phương trình vi phân và Hệ động lực, Giải tích. Hỏi liệu tập Mandelbrot $M \subset \mathbb{C}$ có liên thông địa phương hay không—một giả thuyết sẽ mang lại mô hình tổ hợp hoàn chỉnh của $M$ và suy ra tính trù mật của các đa thức bậc hai hyperbolic.Còn mở
73. 1985
    Giả thuyết abcSố học và Lý thuyết số. Dự đoán rằng với $a+b=c$ nguyên tố cùng nhau, $c$ hiếm khi lớn hơn nhiều so với tích các ước nguyên tố phân biệt của $abc$ — đề ra năm 1985; một tuyên bố chứng minh gây tranh cãi năm 2012 được công bố năm 2021 nhưng chưa được đa số nhà số học chấp nhận.Còn mở
74. 1985
    Giả thuyết giường tầng (bunkbed)Tổ hợp và Toán rời rạc, Xác suất và Thống kê. Trong quá trình thấm trên hai đồ thị giống hệt xếp chồng lên nhau nối bằng các cột dọc, liệu xác suất liên thông cùng tầng có luôn lớn hơn hoặc bằng khác tầng? Do Kasteleyn nêu năm 1985 và bị Gladkov, Pak, Zimin bác bỏ năm 2024.Đã bác bỏ
75. 1987
    Bổ đề cơ bản của chương trình LanglandsSố học và Lý thuyết số, Đại số. Bổ đề cơ bản là một đẳng thức tổ hợp giữa các tích phân quỹ đạo trên một nhóm rút gọn và các nhóm nội soi của nó, do Robert Langlands và Diana Shelstad đặt ra. Đây là mảnh ghép cuối cùng còn thiếu để ổn định hoá công thức vết Arthur–Selberg, công cụ chính liên kết các biểu diễn tự đẳng cấu giữa các nhóm khác nhau. Ngô Bảo Châu chứng minh nó trong trường hợp tổng quát bằng cách diễn giải lại đẳng thức này dưới góc độ hình học, như một phát biểu về đối đồng điều của thớ Hitchin.NCNgô Bảo Châu, 2008
76. 1992
    Giả thuyết độ nhạy (Sensitivity conjecture)Tổ hợp và Toán rời rạc, Toán ứng dụng và Tính toán. Liệu độ nhạy $s(f)$ của một hàm Boole có quan hệ đa thức với độ nhạy khối, bậc đa thức và độ sâu cây quyết định của nó hay không? Được Noam Nisan và Mario Szegedy nêu năm 1992 và được Gotsman cùng Linial đưa về một bài toán trên đồ thị con của siêu lập phương, giả thuyết đã được Hao Huang giải quyết năm 2019 trong chứng minh dài hai trang chỉ ra rằng $\Delta(H) \ge \sqrt{n}$ với mọi đồ thị con cảm sinh gồm $(2^{n-1} + 1)$ đỉnh của $Q_n$.Đã giải
77. 1993
    Giả thuyết BealSố học và Lý thuyết số. Được phát biểu năm 1993 bởi chủ ngân hàng kiêm nhà toán học nghiệp dư ở Dallas là Andrew Beal khi tìm hiểu các dạng tổng quát của Định lý lớn Fermat, giả thuyết khẳng định phương trình Fermat tổng quát $A^x + B^y = C^z$ không có nghiệm nguyên dương $A, B, C$ nguyên tố cùng nhau từng đôi khi cả ba số mũ đều thỏa mãn $x, y, z \ge 3$. Điều kiện $x, y, z > 2$ là chặt vì $1^n + 2^3 = 3^2$ và các đẳng thức như $2^3 + 2^3 = 2^4$ (khi các cơ số có chung ước nguyên tố $2$) cho thấy cả ngưỡng số mũ lẫn giả thiết nguyên tố cùng nhau đều thiết yếu. Hội Toán học Hoa Kỳ (AMS) đang giữ giải thưởng USD $1{,}000{,}000$ do Beal tài trợ cho một chứng minh hoặc phản ví dụ.Còn mở
78. 1995
    Bài toán tập mũ (cap set)Tổ hợp và Toán rời rạc. Một tập con của $\mathbb{F}_3^n$ không chứa đường thẳng afin có thể lớn tới mức nào? Được giải quyết năm 2016 khi Ellenberg và Gijswijt, phát triển phương pháp đa thức của Croot, Lev và Pach, chứng minh chặn mũ $r_3(\mathbb{F}_3^n) = O(2.756^n)$.Đã giải
79. 1997
    Giả thuyết thể tích (lý thuyết nút)Tô pô. Được đề xuất bởi Rinat Kashaev (1997) cùng Hitoshi và Jun Murakami (2001), giả thuyết thể tích dự đoán rằng tốc độ tăng tiệm cận của đa thức Jones $N$-màu tại căn đơn vị $e^{2\pi i/N}$ khôi phục đúng thể tích hyperbolic của phần bù nút.Còn mở

Đương đại

1. 2000
   Sự tồn tại và độ trơn của nghiệm Navier–StokesPhương trình vi phân và Hệ động lực. Hỏi liệu hệ Navier–Stokes không nén 3 chiều luôn có nghiệm trơn, xác định toàn cục từ dữ liệu ban đầu trơn, hay có thể bùng nổ trong thời gian hữu hạn — một trong 7 Bài toán thiên niên kỷ Clay.MillenniumSmale #15Còn mở
2. 2000
   Sự tồn tại và khe khối lượng Yang–MillsVật lý toán, Giải tích. Trường Yang–Mills cổ điển không có khối lượng giống như photon, nhưng trong thế giới lượng tử lực hạt nhân mạnh mà chúng mô tả lại có tầm tác dụng ngắn và giam cầm gluon cùng quark thành các hạt có khối lượng. Xây dựng chặt chẽ về mặt toán học lý thuyết Yang–Mills lượng tử bốn chiều và chứng minh khe khối lượng $\Delta > 0$ của nó là một trong bảy Bài toán thiên niên kỷ của Viện Clay.MillenniumCòn mở
3. 2002
   Giả thuyết trò chơi duy nhất (Unique Games)Toán ứng dụng và Tính toán. Do Subhash Khot đề xuất năm 2002, giả thuyết trò chơi duy nhất khẳng định rằng việc xấp xỉ một lớp bài toán thỏa mãn ràng buộc có các ràng buộc song ánh tưởng chừng đơn giản lại là NP-khó; nếu đúng, nó suy ra các nới lỏng quy hoạch nửa xác định chuẩn đạt tỷ số xấp xỉ tối ưu cho Max-Cut, phủ đỉnh và mọi bài toán thỏa mãn ràng buộc.Còn mở