Bài toán lớn

Thế kỷ 18

1. 1742
   Giả thuyết GoldbachSố học và Lý thuyết số. Trong một lá thư năm 1742 gửi Euler, Goldbach đề xuất rằng mọi số nguyên lớn hơn 2 đều là tổng của ba số nguyên tố (khi đó số 1 vẫn được coi là số nguyên tố); Euler phát biểu lại thành dạng chuẩn và mạnh hơn ngày nay: mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tố. Dù đã được máy tính kiểm tra cho mọi số chẵn tới $4\times10^{18}$, và dù có nhiều kết quả từng phần mạnh, phát biểu tổng quát vẫn chưa được chứng minh. Một phát biểu khác, yếu hơn — giả thuyết Goldbach yếu (ba phần), rằng mọi số lẻ lớn hơn 5 đều là tổng của ba số nguyên tố — đã được Helfgott chứng minh trọn vẹn năm 2013.Landau #1Còn mở

Thế kỷ 19

1. 1808
   Giả thuyết LegendreSố học và Lý thuyết số. Hỏi liệu có luôn tồn tại một số nguyên tố giữa hai số chính phương liên tiếp bất kỳ $n^2$ và $(n+1)^2$ — một khoảng có độ dài $2n + 1 \approx 2x^{1/2}$ tại $x = n^2$. Được Edmund Landau xếp vào bốn bài toán số nguyên tố 'bất khả công phá' năm 1912, giả thuyết vẫn còn mở ngay cả khi giả sử giả thuyết Riemann đúng.Landau #3Còn mở
2. 1849
   Giả thuyết số nguyên tố sinh đôiSố học và Lý thuyết số. Các cặp như $(3,5)$, $(11,13)$, $(17,19)$ được gọi là số nguyên tố sinh đôi. Alphonse de Polignac phát biểu giả thuyết dưới dạng tổng quát năm 1849, là trường hợp $n=2$ của khẳng định rằng mọi số chẵn $n$ đều là khoảng cách giữa vô hạn cặp số nguyên tố liên tiếp. Bài toán từng bị coi là vô vọng cho tới khi Yitang Zhang chứng minh năm 2013 rằng có một khoảng cách nào đó dưới một chặn cố định lặp lại vô hạn lần — bước đột phá đầu tiên, gây chấn động, hướng tới giả thuyết. Các cải tiến lý thuyết sàng từ đó đã đưa chặn từ 70.000.000 xuống còn 246, nhưng chưa phương pháp nào ép được khoảng cách xuống tới 2.Landau #2Còn mở

Thế kỷ 20

1. 1912
   Số nguyên tố dạng n² + 1 (bài toán thứ tư của Landau)Số học và Lý thuyết số. Định lý Dirichlet bảo đảm có vô hạn số nguyên tố trong mọi cấp số cộng tuyến tính nguyên tố cùng nhau $an + b$, thế nhưng chưa một đa thức một biến bậc từ hai trở lên nào được chứng minh là nhận vô hạn giá trị nguyên tố. Được Edmund Landau nêu năm 1912 làm bài thứ tư trong các bài toán về số nguyên tố của ông, trường hợp $n^2 + 1$ vẫn còn để ngỏ; kết quả vô điều kiện gần nhất là định lý năm 1978 của Iwaniec rằng $n^2 + 1$ là tích của tối đa hai số nguyên tố vô hạn lần.Landau #4Còn mở