Bài toán lớn

Thế kỷ 19

1. 1859
   Giả thuyết RiemannSố học và Lý thuyết số, Giải tích. Hàm zeta mã hoá sự phân bố của số nguyên tố: các không điểm của nó khống chế số hạng sai số trong hàm đếm số nguyên tố $\pi(x)$. Năm 1859, Riemann nhận thấy mọi không điểm không tầm thường mà ông tính được đều nằm trên đường thẳng tới hạn $\mathrm{Re}(s)=\tfrac12$, và đặt giả thuyết rằng điều này luôn đúng. Một chứng minh sẽ cho dạng mạnh nhất có thể của định lý số nguyên tố; hàng tỷ không điểm đã được kiểm tra bằng máy tính và đều nằm trên đường này, nhưng chưa có chứng minh hay phản chứng nào. Đây là một trong bảy Bài toán thiên niên kỷ của Viện Clay.MillenniumHilbert #8Còn mở

Thế kỷ 20

1. 1904
   Giả thuyết PoincaréTô pô, Hình học. Mọi đa tạp $3$ chiều đóng, đơn liên đều đồng phôi với mặt cầu $3$ chiều $S^3$ — do Henri Poincaré đặt ra năm 1904 và được Grigori Perelman chứng minh năm 2002–2003 bằng dòng Ricci có phẫu thuật, là Bài toán thiên niên kỷ duy nhất của Viện Clay đã được giải quyết.MillenniumGPGrigori Perelman, 2003
2. 1950
   Giả thuyết HodgeHình học, Đại số. Lớp Hodge là những lớp đối đồng điều mà cấu trúc phức của một đa tạp đánh dấu là 'có dạng hình học'; giả thuyết hỏi liệu mỗi lớp như vậy có thực sự đến từ một đa tạp con đại số thật hay không. Đã biết đúng ở đối chiều 1 từ năm 1924 (Lefschetz) và cho đa tạp abel tới chiều 5, đây là một trong bảy Bài toán thiên niên kỷ của Viện Clay và vẫn còn mở trong trường hợp tổng quát.MillenniumCòn mở
3. 1965
   Giả thuyết Birch và Swinnerton-DyerSố học và Lý thuyết số. Dự đoán hạng các điểm hữu tỷ của đường cong elliptic bằng bậc không điểm của hàm L tại s=1 — mới chứng minh được khi bậc đó là 0 hoặc 1.MillenniumCòn mở
4. 1971
   Bài toán P đối NPToán ứng dụng và Tính toán, Nền tảng toán học. Hỏi liệu mọi bài toán mà lời giải kiểm tra nhanh được có luôn giải nhanh được hay không — câu hỏi trung tâm của lý thuyết độ phức tạp tính toán, mang giải thưởng Clay Millennium.MillenniumCòn mở

Đương đại

1. 2000
   Sự tồn tại và độ trơn của nghiệm Navier–StokesPhương trình vi phân và Hệ động lực. Hỏi liệu hệ Navier–Stokes không nén 3 chiều luôn có nghiệm trơn, xác định toàn cục từ dữ liệu ban đầu trơn, hay có thể bùng nổ trong thời gian hữu hạn — một trong 7 Bài toán thiên niên kỷ Clay.MillenniumSmale #15Còn mở
2. 2000
   Sự tồn tại và khe khối lượng Yang–MillsVật lý toán, Giải tích. Trường Yang–Mills cổ điển không có khối lượng giống như photon, nhưng trong thế giới lượng tử lực hạt nhân mạnh mà chúng mô tả lại có tầm tác dụng ngắn và giam cầm gluon cùng quark thành các hạt có khối lượng. Xây dựng chặt chẽ về mặt toán học lý thuyết Yang–Mills lượng tử bốn chiều và chứng minh khe khối lượng $\Delta > 0$ của nó là một trong bảy Bài toán thiên niên kỷ của Viện Clay.MillenniumCòn mở