解法：欧拉利用正弦函数乘积公式给出的证明(1734–1735)

第 4/6 步：把乘积展开到 x² 阶

通俗地说

对于普通的有限多项式,有一条捷径(韦达定理),可以直接从 $x$ 的系数读出各根倒数之和,而不必逐一知道每个根。欧拉把同一条捷径用在了他的无穷乘积上,形式地展开后读出 $x^2$ 的系数。

\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)=1-x^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\pi^2}+O(x^4)

详细分析

把无穷多个因子形式地相乘, $x^2$ 的系数等于“各根平方”的倒数之和的相反数——这正是(韦达定理)由多项式系数求其根的倒数之和所用的同一法则。

本步骤中的术语

韦达定理: 把多项式的系数表示为其根的和与积的公式;特别地,对首项系数为 $1$ 、常数项为 $1$ 的多项式, $x$ 的系数等于各根倒数之和的相反数。

本步骤用到的知识