解法：Beukers–Calabi–Kolk 的二重积分证明(1993年)

第 1/6 步：拆分为奇数与偶数的平方

通俗地说

把 $\zeta(2)$ 的各项按下标是奇数还是偶数分成两堆,就像按颜色整理袜子一样。偶数那一堆恰好是整个和的四分之一大小的副本,于是把它减去、再解出 $\zeta(2)$ ,剩下需要弄清楚的就只有奇数那一堆——即对 $1,3,5,\dots$ 求和。

\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}+\frac14\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2}\ \Longrightarrow\ \zeta(2)=\frac43\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}

详细分析

把偶数下标 $n=2m$ 与奇数下标 $n=2k+1$ 分开,偶数部分恰好变成 $\tfrac14\zeta(2)$ ;解出 $\zeta(2)$ 后,整个问题就归结为只对奇数平方求和,这与下一步中一个自然的二重积分相吻合。

本步骤中的术语

$\zeta(2)$: 黎曼 zeta 函数 $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^s$ 在 $2$ 处取值的标准简写——这里就是巴塞尔问题中的无穷和 $\sum 1/n^2$ 。

本步骤用到的知识