解法：欧拉利用正弦函数乘积公式给出的证明(1734–1735)

第 2/6 步：sin x / x 的麦克劳林级数

通俗地说

除以 $x$ 就像剥去函数唯一显而易见的那一层零点,使剩下的部分能够与由其余零点构造的乘积公平地比较;这个新函数在 $x=0$ 处等于 $1$ ,它的幂级数不过是正弦级数把 $x$ 的每个次数都降低了一次。

\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots

详细分析

把 $\sin x$ 已知的幂级数除以 $x$ ,可消去 $x=0$ 处的平凡零点,得到一个在该点取值为 $1$ 的函数;它剩下的零点恰好是 $x=\pm\pi,\pm2\pi,\pm3\pi,\dots$ ,即 $\sin x=0$ 的非零解。

本步骤中的术语

本步骤用到的知识