MathLabs

解法：欧拉利用正弦函数乘积公式给出的证明(1734–1735)

第 6/6 步：一个诚实的漏洞,140年后才被补上
上一步下一步
通俗地说

从本质上说,欧拉是在没有确认银行账户是否存在的情况下就兑现了一张支票:他假定“无穷次多项式”表现得和有限多项式一样,却没有任何证明说明这样做是合法的。这张支票最终确实兑现了——但那只是因为140年后,魏尔斯特拉斯建起了那家缺失的银行,精确指出了哪些函数可以用这种方式由其零点重建。

sin⁡x=x∏n=1∞(1−x2n2π2)\sin x = x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)
详细分析

欧拉关于 sin⁡x\sin x 的乘积是正确的,他后来也通过其他独立的途径再次证实了它。但第3步中的跳跃——即一个函数本质上由其零点决定,就像多项式那样——直到1876年魏尔斯特拉斯给出整函数的分解定理后才成为真正的定理,该定理给出了何时不需要额外指数因子的明确判据。这里基本按照欧拉本人的方式呈现这个证明,连同其中的漏洞,因为这正是这个恒等式被发现的真实过程。

本步骤中的术语
魏尔斯特拉斯分解定理
卡尔·魏尔斯特拉斯在1876年提出的定理,精确指出哪些整函数等于其零点上的收敛乘积乘以某个整函数 gg 给出的 eg(x)e^{g(x)},以及何时 gg 必须是常数。
整函数
在复平面上每一点都可微的复变函数,例如 sin⁡z\sin z 或 eze^z。
本步骤用到的知识
复变函数