解法：欧拉利用正弦函数乘积公式给出的证明(1734–1735)

第 3/6 步：与多项式的大胆类比

通俗地说

一个有限多项式一旦知道了它所有的根,就能被完全重建:比如一个根为 $2$ 和 $3$ 、在 $x=0$ 处等于 $6$ 的二次式必定是 $6(1-x/2)(1-x/3)$ 。欧拉干脆不相信无穷多个根的清单会表现得不一样,于是把 $\sin x/x$ 写成一个无穷乘积,每一对根 $\pm n\pi$ 对应一个因子。

\frac{\sin x}{x}\;\overset{?}{=}\;\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x}{n\pi}\right)\left(1+\frac{x}{n\pi}\right)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)

\sin z

的定义域着色图:色轮上所有色相汇聚的点正是其零点

0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots

。

详细分析

以 $r_1,\dots,r_k$ 为根且在 $0$ 处取值 $1$ 的多项式可分解为 $\prod(1-x/r_i)$ 。欧拉把 $\sin x/x$ 看作以 $\pm\pi,\pm2\pi,\dots$ 为根、在 $0$ 处取值为 $1$ 的“无穷次多项式”,并写出同样形式的分解——把每个 $+n\pi$ 与 $-n\pi$ 配成一个实二次因子。

本步骤中的术语

无穷乘积: 定义为无穷多个因子的部分乘积 $\prod_{n=1}^{N}(\cdots)$ 当 $N\to\infty$ 时的极限的一个值。

本步骤用到的知识

复变函数

常见错误. 这一步是整个论证的关键,而在1735年尚未得到证明:当时并没有任何依据保证“无穷次多项式”能像有限多项式那样仅由其零点决定,也不能保证乘积前面不会隐藏着额外的因子(例如

e^{cx}

)。