解法：欧拉利用正弦函数乘积公式给出的证明(1734–1735)

第 5/6 步：比较 x² 的系数

通俗地说

做同一块蛋糕的两份不同食谱,必须在每种原料的用量上完全一致。这里的“蛋糕”就是函数 $\sin x/x$ ,两份“食谱”分别是第2步的麦克劳林级数和第4步展开后的乘积,而比对 $x^2$ 这种原料的用量,正是欧拉一直在寻找的数值恒等式。

-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\ \Longrightarrow\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

详细分析

第2步与第4步给出了同一函数 $\sin x/x$ 的两个幂级数,因此它们的系数必须逐项相等。比较 $x^2$ 的系数,就把关于 $\sin x$ 零点的几何陈述直接转化为欧拉所要求的数值恒等式。