解法：欧拉利用正弦函数乘积公式给出的证明(1734–1735)

巴塞尔问题要求给出 $\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 的封闭形式,该问题由 Pietro Mengoli 于1644年提出,伯努利家族和莱布尼茨都曾尝试而未成功。收敛性从来不是疑问——级数被 $\int_1^{\infty}dx/x^2$ 控制,到欧拉的时代人们已知道约六位正确小数——但精确表达式抵制了所有方法。

欧拉的策略,在作为典据的 Dunham 的叙述(第3章)中逐步重现:对同一个函数 $\frac{\sin x}{x}$ 得到两种不同的代数描述——它的麦克劳林级数(第2步)和由其零点构造的无穷乘积(第3步)。两个展开式齐备之后,逐项比较系数就把关于 $\sin x$ 零点的纯粹几何信息转化为关于 $\zeta(2)$ 的算术信息。

选择 $\sin x$ 是创造性的一笔:它是零点构成一个显式、等距、双向无穷族 $0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots$ 的最简单整函数,恰好是构造一个 $x^2$ 系数为平方倒数级数的乘积所需要的那种数据。