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解法：德布朗热经由米林猜想给出的比伯巴赫猜想证明(1984年)

第 2/8 步：将系数界归结为关于对数系数的米林不等式
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通俗地说

伊萨克·米林没有一次只控制一个系数 ana_n(共有无穷多个),而是提议控制另一组相关的数——对数系数 γk\gamma_k(先对 f(z)/zf(z)/z 取对数得到)——并证明关于所有 γk\gamma_k 的单一加权不等式能一次性迫使所有比伯巴赫界成立。

取对数把一个精细的、逐个系数的问题,变成了一个更宽容的“平均化”命题,就像控制一个光源的总亮度,往往比控制每一条光线的精确形状要容易。

∣an∣≤nfollows from∑k=1n(n+1−k) k(∣γk∣2−1k2)≤0|a_n| \le n \quad\text{follows from}\quad \sum_{k=1}^{n} (n+1-k)\,k\left(|\gamma_k|^2 - \frac{1}{k^2}\right) \le 0
详细分析

1971年,伊萨克·米林猜测:对单叶函数 f(z)=z+∑n=2∞anznf(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n,由 log⁡(f(z)/z)=2∑k=1∞γkzk\log(f(z)/z) = 2\sum_{k=1}^\infty \gamma_k z^k 定义的对数系数 γk\gamma_k 满足 ∑k=1n(n+1−k) k(∣γk∣2−1k2)≤0\sum_{k=1}^{n} (n+1-k)\,k\left(|\gamma_k|^2 - \frac{1}{k^2}\right) \le 0。由列别捷夫–米林指数化不等式,该不等式蕴含罗伯逊(M. S. Robertson)1936年关于奇单叶函数的猜想,而后者又蕴含对任意单叶函数 ff 都成立的比伯巴赫界 ∣an∣≤n|a_n| \le n。

对第 nn 个系数界的直接攻击此前只对较小的 nn 成功;米林的重新表述将问题转化为一个单一的单调性型命题,只要能通过某种动态过程(而非静态的代数恒等式)控制对数系数 γk\gamma_k,就可以对所有 nn 一次性统一攻克。

提供这一动态过程的,正是卡尔·勒夫纳1923年关于裂缝映射的理论,这是下一步的主题。

本步骤中的术语
对数系数γk\gamma_k
单叶函数 ff 的幂级数 log⁡(f(z)/z)=2∑k=1∞γkzk\log(f(z)/z) = 2\sum_{k=1}^\infty \gamma_k z^k 中的系数 γk\gamma_k;是对同一函数的另一种记账方式,结果比直接处理系数 ana_n 更易处理。
本步骤用到的知识
复变函数